Considere z, w in C.
Prove a identidade |1-barz w|^2-|z-w|^2=(1-|z|^2)(1-|w|^2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para quaisquer números complexos z e w valha a identidade |1-bar z w|^2 - |z-w|^2 = (1-|z|^2)(1-|w|^2). Vamos usar propriedades de módulo e conjugado de números complexos.

Passo 2

Lembrando que para qualquer ainC vale |a|^2 = a,a. Essa é a base para expandirmos os módulos ao quadrado.

Passo 3

Calculemos em primeiro lugar
|1 - bar z w|^2 = (1 - bar z w),(1 - bar z w) = (1 - bar z w)(1 - zbar w)
Fazendo o produto, temos
|1 - bar z w|^2 = 1 - zbar w - bar z w + |z|^2,|w|^2

Passo 4

Agora expandimos
|z - w|^2 = (z - w),(z - w) = (z - w)(bar z - bar w) = |z|^2 - zbar w - bar z w + |w|^2

Passo 5

Subtraindo as duas expressões:
|1 - bar z w|^2 - |z - w|^2 = l(1 - zbar w - bar z w + |z|^2|w|^2r) - l(|z|^2 - zbar w - bar z w + |w|^2r)
Os termos com zbar w e bar z w se cancelam, sobrando
1 - |z|^2 - |w|^2 + |z|^2|w|^2 = (1 - |z|^2)(1 - |w|^2)

Resposta

(1 - |z|^2)(1 - |w|^2)

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