Considere Z[raiz-5]=a+b raiz-5 mid a, b in Z.
a. Mostre que os elementos 2,3,1+raiz-5 e 1-raiz-5 são irredutíveis e não são associados. Mostre também que estes elementos não são primos.
b. Tomando as decomposições 6=2.3=(1+raiz-5) cdot(1-raiz-5) pode-se concluir que Z[raiz-5] não é fatorial. Justifique a resposta.
c. Z[raiz-5] é um anel euclidiano?

Passo 1

O exercício trabalha no anel Z[raiz-5] e pede três coisas: (a) provar que 2, 3, 1+raiz-5 e 1-raiz-5 são irredutíveis, não associados e não primos; (b) usar as duas fatorações de 6 para concluir que não há fatoração única; © decidir se esse anel é euclidiano. Vamos precisar da definição de norma e dos conceitos de irreducível versus primo.

Passo 2

Definimos a norma de um elemento alpha=a+braiz-5 por
N(alpha)=a^2+5b^2
Essa norma é multiplicativa, ou seja, N(alphabeta)=N(alpha)N(beta), e vale N(alpha)>=1 para alphaneq0.

Passo 3

Para ver que cada um dos elementos é irredutível, calculamos:
N(2)=4,
N(3)=9,
N(1pmraiz-5)=1^2+5cdot1^2=6
Se um desses elementos fosse produto de dois não-unidades, a norma precisaria se decompor em fatores não-triviais que aparecem como valores possíveis de a^2+5b^2. Mas os únicos valores de norma menores que 4 são 1, e não há solução inteira para norma igual a 2 ou 3. O mesmo vale para dividir 6 em 2·3: não existem elementos de norma 2 nem de norma 3. Logo só há fatoração trivial, e cada elemento é irredutível.

Passo 4

Como as únicas unidades em Z[raiz-5] são pm1, dois irredutíveis x e y seriam associados se x=pm y e, então, teriam a mesma norma. Mas as normas 4, 6 e 9 são todas distintas entre si. Logo 2, 3, 1+raiz-5 e 1-raiz-5 não são associados.

Passo 5

Para mostrar que não são primos, basta usar a fatoração
6=(1+raiz-5)(1-raiz-5)
Por exemplo, 2 divide 6 porque 6/2=3 está no anel, mas não divide nem 1+raiz-5 nem 1-raiz-5, pois dividir por 2 daria (1pmraiz-5)/2, que não está em Z[raiz-5]. O mesmo argumento vale para 3 e para 1pmraiz-5.

Passo 6

Temos então duas fatorações de 6 em irreducíveis não associados:
6=2cdot3=(1+raiz-5)(1-raiz-5)
Isso quebra a unicidade de fatoração, logo Z[raiz-5] não é fatorial.

Passo 7

Se Z[raiz-5] fosse um anel euclidiano, ele seria necessariamente um PID e, portanto, um UFD. Como já vimos que não é UFD, concluímos que não é euclidiano.

Resposta

a. Os elementos 2, 3, 1+\sqrt{-5} e 1-\sqrt{-5} são irredutíveis, não associados entre si e não primos.
b. Como 6 admite as duas fatorações distintas 6=2·3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}), Z[raiz-5] não é um domínio de fatoração única (não é fatorial).
c. Z[raiz-5] não é um anel euclidiano.

Exercícios relacionados