Considere
.
a. Mostre que os elementos
e
são irredutíveis e não são associados. Mostre também que estes elementos não são primos.
b. Tomando as decomposições
pode-se concluir que
não é fatorial. Justifique a resposta.
c.
é um anel euclidiano?
a. Mostre que os elementos
b. Tomando as decomposições
c.
Passo 1
O exercício trabalha no anel
e pede três coisas: (a) provar que
,
,
e
são irredutíveis, não associados e não primos; (b) usar as duas fatorações de
para concluir que não há fatoração única; © decidir se esse anel é euclidiano. Vamos precisar da definição de norma e dos conceitos de irreducível versus primo.
Passo 2
Definimos a norma de um elemento
por
Essa norma é multiplicativa, ou seja,
, e vale
para
.
Passo 3
Para ver que cada um dos elementos é irredutível, calculamos:
Se um desses elementos fosse produto de dois não-unidades, a norma precisaria se decompor em fatores não-triviais que aparecem como valores possíveis de
. Mas os únicos valores de norma menores que 4 são 1, e não há solução inteira para norma igual a 2 ou 3. O mesmo vale para dividir 6 em 2·3: não existem elementos de norma 2 nem de norma 3. Logo só há fatoração trivial, e cada elemento é irredutível.
Passo 4
Como as únicas unidades em
são
, dois irredutíveis
e
seriam associados se
e, então, teriam a mesma norma. Mas as normas 4, 6 e 9 são todas distintas entre si. Logo 2, 3,
e
não são associados.
Passo 5
Para mostrar que não são primos, basta usar a fatoração
Por exemplo,
divide
porque
está no anel, mas não divide nem
nem
, pois dividir por 2 daria
, que não está em
. O mesmo argumento vale para
e para
.
Passo 6
Temos então duas fatorações de
em irreducíveis não associados:
Isso quebra a unicidade de fatoração, logo
não é fatorial.
Passo 7
Se
fosse um anel euclidiano, ele seria necessariamente um PID e, portanto, um UFD. Como já vimos que não é UFD, concluímos que não é euclidiano.
Resposta
a. Os elementos 2, 3, 1+\sqrt{-5} e 1-\sqrt{-5} são irredutíveis, não associados entre si e não primos.
b. Como 6 admite as duas fatorações distintas 6=2·3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}), não é um domínio de fatoração única (não é fatorial).
c. não é um anel euclidiano.
b. Como 6 admite as duas fatorações distintas 6=2·3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}),
c.