Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis em
.
.
.
com
e
distintos e diferentes de 0 . E se
?
.
Passo 1
O exercício pede para verificar se os polinômios abaixo são irredutíveis no anel
. O conteúdo principal é irreduzibilidade de polinômios de duas variáveis, e vamos usar o critério do discriminante aplicando-o a polinômios quadráticos em
.
Passo 2
Recordando o critério do discriminante em
: se tivermos um polinômio
com
,
e
, então
é irredutível em
se, e somente se, seu discriminante
não for um quadrado em
.
Passo 3
Para
vemos que
,
,
. Calculamos
Como
tem fatores lineares distintos,
não é quadrado em
. Logo,
é irredutível.
Passo 4
Para
temos
,
,
e
que é quadrado em
. Por isso
se fatoriza como
e é redutível.
Passo 5
No caso
(com
e distintos) temos
,
,
e
Os fatores
,
e
são distintos, então
não é quadrado em
. Logo, é irredutível.
Passo 6
Se
então
e
onde o fator
aparece com expoente 1. Assim,
continua não sendo um quadrado em
e
permanece irredutível.
Passo 7
Para
reorganizamos como polinômio em
:
cujo discriminante é
Embora haja um fator
, o produto
não é quadrado em
. Logo, esse polinômio também é irredutível.
Resposta
- Irredutível
- Redutível (
) - Irredutível para
e distintos; também irredutível se - Irredutível