Verifique se os seguintes polinômios são irredutíveis em C[X, Y]. Y^2-X^2-1.
Y^2+X^2.
Y^2-X(X-a)(X-b) com a e b distintos e diferentes de 0 . E se a=0 ?
Y^2 X+Y^2+X Y+X.

Passo 1

O exercício pede para verificar se os polinômios abaixo são irredutíveis no anel C[X,Y]. O conteúdo principal é irreduzibilidade de polinômios de duas variáveis, e vamos usar o critério do discriminante aplicando-o a polinômios quadráticos em Y.

Passo 2

Recordando o critério do discriminante em C[X][Y]: se tivermos um polinômio
f(Y)=a(X),Y^2 + b(X),Y + c(X),
com a,b,cin C[X], aneq0 e gcd(a,b,c)=1, então f é irredutível em C[X,Y] se, e somente se, seu discriminante
De
não for um quadrado em C[X].

Passo 3

Para f=Y^2 - X^2 - 1 vemos que a=1, b=0, c= -X^2-1. Calculamos
De
Como X^2+1=(X+i)(X-i) tem fatores lineares distintos, 4(X^2+1) não é quadrado em C[X]. Logo, Y^2 - X^2 - 1 é irredutível.

Passo 4

Para f=Y^2 + X^2 temos a=1, b=0, c=X^2 e
De
que é quadrado em C[X]. Por isso Y^2+X^2 se fatoriza como (Y-iX)(Y+iX) e é redutível.

Passo 5

No caso f=Y^2 - X(X-a)(X-b) (com a,bneq0 e distintos) temos a=1, b=0, c=-X(X-a)(X-b) e
De
Os fatores X, X-a e X-b são distintos, então 4X(X-a)(X-b) não é quadrado em C[X]. Logo, é irredutível.

Passo 6

Se a=0 então f=Y^2 - X^2(X-b) e
De
onde o fator X-b aparece com expoente 1. Assim, De continua não sendo um quadrado em C[X] e f permanece irredutível.

Passo 7

Para f=Y^2X + Y^2 + XY + X reorganizamos como polinômio em Y:
f=(X+1)Y^2 + X Y + X,
cujo discriminante é
De
Embora haja um fator -1)=(i)^2, o produto X(3X+4) não é quadrado em C[X]. Logo, esse polinômio também é irredutível.

Resposta

  1. Irredutível
  2. Redutível ( Y^2+X^2=(Y-iX)(Y+iX))
  3. Irredutível para a,bneq0 e distintos; também irredutível se a=0
  4. Irredutível

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