O enunciado pede para mostrarmos que o anel Z[raiz2], munido da função d(a+braiz2)=|a^2-2b^2|, satisfaz a definição de anel euclidiano.
Passo 2
Lembrando a definição: um domínio de integridade R é euclidiano se existe d:Rsetminus0toN tal que, para quaisquer alpha,betain R com betaneq0, existem q,rin R satisfazendo
alpha=beta q+r
com ou r=0 ou d(r).
Passo 3
Dados alpha,betainZ[raiz2] com betaneq0, consideramos o quociente em Q(raiz2)
alphabeta=u+vraiz2,
onde u,vinQ. Escolhemos inteiros m,n tais que q=m+nraiz2,
e r=alpha-beta q
(como fazemos para arredondar cada coeficiente). Definimos então