Mostre que Z[raiz2] é um anel euclidiano. (Considere .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o anel Z[raiz2], munido da função d(a+braiz2)=|a^2-2b^2|, satisfaz a definição de anel euclidiano.

Passo 2

Lembrando a definição: um domínio de integridade R é euclidiano se existe d:Rsetminus0toN tal que, para quaisquer alpha,betain R com betaneq0, existem q,rin R satisfazendo
alpha=beta q+r
com ou r=0 ou d(r).

Passo 3

Dados alpha,betainZ[raiz2] com betaneq0, consideramos o quociente em Q(raiz2)
alphabeta=u+vraiz2,
onde u,vinQ. Escolhemos inteiros m,n tais que
q=m+nraiz2,
e
r=alpha-beta q
(como fazemos para arredondar cada coeficiente). Definimos então
e o resto

Passo 4

Para estimar a norma do resto, note que
rbeta=(u-m)+(v-n)raiz2
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d(r)d(beta)=l|(u-m)^2-2(v-n)^2r|<=(tfrac12)^2+2(tfrac12)^2=tfrac34<1
Isto implica d(r) quando rneq0, e caso contrário r=0.

Passo 5

Portanto, para quaisquer alpha,beta encontramos q,rinZ[raiz2] com alpha=beta q+r e r=0 ou d(r). Isso mostra que Z[raiz2] é euclidiano na norma dada.

Resposta

Z[raiz2] é um anel euclidiano com a função d(a+braiz2)=|a^2-2b^2|.

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