Considerem as bases A=(-1,1),(1,0) e B=(-2,1),(-1,1).Sejam o operador linear do R^2 dado T(x, y)=(x+2 y, x-y) e a matriz canônica do operador linear S do R^2 dada pela matriz abaixo. ToS( x, y ) é inversível?
[ll1 & 1 1 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá dois operadores lineares em R^2:
S cuja matriz na base canônica é
S = 1 & 11 & 1,
T definida por
T(x,y) = (x + 2y,;x - y)
Queremos saber se a composição Tcirc S é invertível. Lembrando que um operador linear é invertível se, e somente se, o determinante de sua matriz na base canônica for diferente de zero.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de S. Para a matriz
S = 1 & 11 & 1
temos
det(S) = 1cdot1 - 1cdot1 = 0

Passo 3

Para comparação, calculamos também o determinante de T. A matriz de T na base canônica é
T = 1 & 21 & -1,
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det(T) = 1cdot(-1) - 2cdot1 = -3 neq 0

Passo 4

Como det(S)=0, o operador S não é invertível. A composição de um operador invertível ( T) com um não invertível ( S) também não será invertível. Alternativamente,
det(Tcirc S) = det(T),det(S) = (-3)cdot0 = 0,
confirmando que Tcirc S não admite inversa.

Resposta

Tcirc S não é invertível.

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