Seja o operador linear T: R^2 R^2, sendo T(x, y)=(x+2 y,-x+y). T é inversível?

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y) = (,x+2y,,-x+y,)
e pergunta se T é invertível. O conteúdo usado será Álgebra Linear básica: representação matricial de operadores e determinante para testar invertibilidade.

Passo 2

Vamos escrever em coordenadas canônicas. Se , então
Denotando , calculamos o determinante de :

Passo 3

Como det(A)=3neq 0, concluímos que A (e portanto T) é invertível. Em Álgebra Linear, uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo.

Passo 4

Opcionalmente, para encontrar
Da segunda equação (x = y - v]. Substituindo na primeira:

e então

Logo,

Resposta

Sim. T é invertível, pois det(A)=3neq0.

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