Considerem a seguinte amostra de um conjunto de dados:
lllllllll 100 & 200 & 300 & 400 & 500 & 600 & 700 & 900 & 1.000
1
a) Calcule barx e s.
b) Multipliquem cada entrada por 10. Obtenham barx e s para os novos dados.
c) Dividam os dados originais por 10. Obtenham barx e s para os novos dados.
d) O que vocês podem concluir dos resultados de (a), (b) e (c).

Passo 1

Temos uma amostra com n = 9 observações: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 900 e 1000. Vamos usar conceitos de média amostral barx e desvio padrão amostral s, além das propriedades de escala (multiplicar/dividir os dados por constante).

Passo 2

Para calcular a média original, somamos todos os valores e dividimos por n. O somatório é

Passo 3

sumi=1^9 xi = 100 + 200 + 300 + 400 + 500 + 600 + 700 + 900 + 1000 = 4700

Passo 4

Logo, a média é

Passo 5

barx = 1nsumi=1^n xi = 47009 approx 522,22

Passo 6

Para calcular o desvio padrão amostral, usamos a fórmula

Passo 7

s^2 = 1n-1 sumi=1^n (xi - barx)^2

Passo 8

Em vez de calcular cada desvio ao quadrado, aplicamos a identidade sum xi^2 - nbarx^2. Primeiro,

Passo 9

sumi=1^9 xi^2 = 100^2 + 200^2 + cdots + 1000^2 = 3,210,000

Passo 10

Então

Passo 11

sum (xi-barx)^2 = sum xi^2 - nbarx^2 = 3,210,000 - 9l(47009r)^2 = 755,555,56

Passo 12

Portanto

Passo 13

s^2 = 755,555,568 approx 94,444,44,
s = raiz94,444,44 approx 307,32

Passo 14

Agora, se multiplicamos cada dado por 10, a propriedade diz que a média e o desvio padrão também são multiplicados por 10. Então

Passo 15

barxtimes10 = 10barx = 10 times 522,22 approx 5,222,22 e

Passo 16

stimes10 = 10s = 10 times 307,32 approx 3,073,20.

Passo 17

Se dividimos cada dado por 10, a média e o desvio padrão são divididos por 10. Assim

Passo 18

barxdiv10 = barx/10 = 522,22/10 = 52,22 e

Passo 19

sdiv10 = s/10 = 307,32/10 = 30,73.

Passo 20

Concluímos que ao multiplicar (ou dividir) todos os valores de uma amostra por uma constante c, a média e o desvio padrão amostral também são multiplicados (ou divididos) por c.

Resposta

a) barx = 47009 approx 522,22, s approx 307,32.
b) Dados ×10: barx approx 5,222,22, s approx 3,073,20.
c) Dados ÷10: barx approx 52,22, s approx 30,73.
d) Multiplicar ou dividir a amostra por constante c faz a média e o desvio padrão também serem multiplicados ou divididos por c.

Exercícios relacionados