Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=R^3, T(x, y, z)=(4 x, 5 y-z,-y+5 z).
Para cada item acima, determine:
O polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação linear T: R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (4x,;5y - z,;-y + 5z)
O que queremos é o polinômio característico de T, que é definido por
chiT(lambda) = detl(A - lambda Ir),
onde A é a matriz de T na base canônica e I é a matriz identidade.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica e1,e2,e3. Como
T(e1) = (4,0,0), T(e2) = (0,5,-1), T(e3) = (0,-1,5),
temos
A = 4 & 0 & 0 0 & 5 & -1 0 & -1 & 5

Passo 3

Formamos A - lambda I e calculamos o determinante:
A - lambda I = 4-lambda & 0 & 0 0 & 5-lambda & -1 0 & -1 & 5-lambda
Como a primeira coluna tem só um termo não nulo, o determinante fatora:
chiT(lambda) = det(A - lambda I) = (4-lambda),det 5-lambda & -1 -1 & 5-lambda

Passo 4

Calculamos a 2times2:
det 5-lambda & -1 -1 & 5-lambda = (5-lambda)^2 - (-1)(-1) = (5-lambda)^2 - 1 = (5-lambda - 1)(5-lambda + 1) = (4-lambda)(6-lambda)
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chiT(lambda) = (4-lambda),l[(4-lambda)(6-lambda)r] = (4-lambda)^2,(6-lambda)

Resposta

chiT(lambda) = (4-lambda)^2,(6-lambda)

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