Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=R^3, T(x, y, z)=(4 x, 5 y-z,-y+5 z).
Para cada item acima, determine:
Os autovalores e os autoespaços de T.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear T:Vto V com V=R^3 definida por
T(x,y,z) = (4x,;5y - z,;-y + 5z)
O que precisamos é encontrar os autovalores (valores lambda tais que existe vetor não-nulo v com T(v)=lambda v) e, para cada autovalor, descrever o respectivo autoespaço ker(T-lambda I).

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Basta ver a imagem de cada vetor da base:
T(e1) = (4,0,0), T(e2) = (0,5,-1), T(e3) = (0,-1,5)
Logo,
A = 4 & 0 & 0 0 & 5 & -1 0 & -1 & 5

Passo 3

O polinômio característico vem de det(A - lambda I). Como a matriz é triangular por blocos,
det(A - lambda I) = (4-lambda),det5-lambda & -1 -1 & 5-lambda = (4-lambda)l((5-lambda)^2 - 1r)
Expandindo
(5-lambda)^2 - 1 = lambda^2 -10lambda +24 = (lambda-4)(lambda-6),
então
det(A - lambda I) = (4-lambda)(lambda-4)(lambda-6) = -(lambda-4)^2(lambda-6)

Passo 4

As raízes do polinômio característico são os autovalores. Da expressão -(lambda-4)^2(lambda-6) vemos:
lambda1=4(mu<iplicidade 2), lambda2=6(mu<iplicidade 1)

Passo 5

Para
que gera o sistema
Da segunda equação vem é

Passo 6

Para
de onde o sistema
Da primeira equação vem . Então
O autoespaço associado a é

Resposta

Os autovalores de T são
lambda1=4(mu<iplicidade 2), lambda2=6(mu<iplicidade 1)
Os autoespaços são
E4 = span(1,0,0),,(0,1,1), E6 = span(0,-1,1)

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