Consideremos a aplicação linear
, definida em cada item abaixo:
.
Para cada item acima, determine:
Os autovalores e os autoespaços de
.
Para cada item acima, determine:
Os autovalores e os autoespaços de
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação linear
com
definida por
O que precisamos é encontrar os autovalores (valores
tais que existe vetor não-nulo
com
) e, para cada autovalor, descrever o respectivo autoespaço
.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de
na base canônica
. Basta ver a imagem de cada vetor da base:
Logo,
Passo 3
O polinômio característico vem de
det(A - lambda I) . Como a matriz é triangular por blocos,
Expandindo
então
Passo 4
As raízes do polinômio característico são os autovalores. Da expressão
-(lambda-4)^2(lambda-6) vemos:
Passo 5
Para
que gera o sistema
Da segunda equação vem é
Passo 6
Para
de onde o sistema
Da primeira equação vem . Então
O autoespaço associado a
é
Resposta
Os autovalores de
T são
Os autoespaços são