Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=R^3, T(x, y, z)=(4 x, 5 y-z,-y+5 z).
Para cada item acima, determine:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.

Passo 1

O enunciado pede para TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=(4x,;5y-z,;-y+5z)
determinar, para cada autovalor de T, suas multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos usar cálculo do polinômio característico e resolução dos sistemas (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
A = 4 & 0 & 0 0 & 5 & -1 0 & -1 & 5
que se decompõe em bloco 1times1 com entrada 4 e bloco 2times2
B=5 & -1-1 & 5

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =(4-lambda),detl(B-lambda I2r) =(4-lambda)l[(5-lambda)^2-(-1)^2r]
Calculamos
(5-lambda)^2-1=lambda^2-10lambda+24=(lambda-6)(lambda-4),
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det(A-lambda I)=(4-lambda)^2,(6-lambda)

Passo 4

Do polinômio característico (4-lambda)^2(6-lambda), vemos que
lambda=4 tem multiplicidade algébrica 2 e lambda=6 tem multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Para , resolvemos
Isso dá espaço próprio de dimensão , logo multiplicidade geométrica de é .
Para , resolvemos
espaço próprio de dimensão , então multiplicidade geométrica de é .

Resposta

lambda=4: multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 2.
lambda=6: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1.

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