Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=R^3, T(x, y, z)=(4 x, 5 y-z,-y+5 z).
Para cada item acima, determine:
Uma base B de V formada por autovetores de T.

Passo 1

Resumindo, temos a aplicação linear TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (4x,;5y - z,;-y + 5z)
O que precisamos é encontrar uma base de R^3 formada por autovetores de T. Para isso, vamos montar a matriz de T na base canônica, calcular seus valores próprios (autovalores) resolvendo o polinômio característico e, em seguida, para cada autovalor, achar o espaço próprio resolvendo (A-lambda I)v=0.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2,e3 é
A= 4 & 0 & 0 0 & 5 & -1 0 & -1 & 5

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(4-lambda)det5-lambda & -1[4pt]-1 & 5-lambda =(4-lambda)l((5-lambda)^2-1r)
Resolvendo (5-lambda)^2-1=0 obtemos 5-lambda=pm1, ou seja lambda=6 e lambda=4. Logo
chiA(lambda)=(4-lambda)^2(6-lambda)
]

Passo 4

Para lambda=4, resolvemos (A-4I)v=0. Isso dá o sistema
(4-4)x=0, (5-4)y - z=0, -y+(5-4)z=0
ou seja
0=0, y - z=0, -y + z=0
que resulta em z=y e x livre. Assim
v=(x,y,y)=x,(1,0,0)+y,(0,1,1)
e uma base do espaço próprio lambda=4 é (1,0,0),(0,1,1).

Passo 5

Para lambda=6, resolvemos (A-6I)v=0, que em (y,z)
(5-6)y - z=0, -y+(5-6)z=0
ou seja
-y - z=0,;-y - z=0
resultando em z=-y e x=0. Logo
v=(0,y,-y)=y,(0,1,-1)
e uma base do espaço próprio lambda=6 é (0,1,-1).

Resposta

Uma base de R^3 formada por autovetores de T é
B = l(1,0,0),;(0,1,1),;(0,1,-1)r

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