Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=R^3, T(x, y, z)=(4 x, 5 y-z,-y+5 z).
Para cada item acima, determine:
Uma matriz M tal que M^-1[T]C M seja uma matriz diagonal, sendo C a base canônica de V.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 dada em coordenadas canônicas por
T(x,y,z) = (4x,;5y - z,;-y + 5z)
O objetivo é encontrar uma matriz M tal que
M^-1,[T]C,M
seja diagonal. O conteúdo usado será cálculo de autovalores e autovetores para diagonalização.

Passo 2

Em relação à base canônica C, a matriz de T é
[T]C = 4 & 0 & 0 0 & 5 & -1 0 & -1 & 5

Passo 3

Para autovalores note que o bloco 2times2
5 & -1-1 & 5
tem traço 10 e determinante 24, então seus autovalores são as raízes de
lambda^2-10lambda+24=0, ou seja
lambda=4 e lambda=6.
Além disso, o valor 4 já aparece trivialmente na primeira linha. Logo os autovalores de T são
lambda1=4 (com multiplicidade geométrica 2) e lambda2=6.

Passo 4

Encontramos autovetores:
  1. Para vindo da coordenada , basta
  1. Para resolvemos
escolhendo
  1. O segundo autovetor para no bloco vem de
tomando

Passo 5

Com esses autovetores formamos a matriz M cujas colunas são v1,v2,v3:
M = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1
Então é imediato verificar que
M^-1,[T]C,M = diag(4,6,4)

Resposta

M = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & -1 & 1 ,
pois dessa forma
M^-1,[T]C,M = 4 & 0 & 0 0 & 6 & 0 0 & 0 & 4

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