Consideremos a aplicação linear , definida em cada item abaixo: .
Para cada item acima, determine:
Uma matriz tal que seja uma matriz diagonal, sendo a base canônica de .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear dada em coordenadas canônicas por
O objetivo é encontrar uma matriz tal que
seja diagonal. O conteúdo usado será cálculo de autovalores e autovetores para diagonalização.
Passo 2
Em relação à base canônica , a matriz de é
Passo 3
Para autovalores note que o bloco 2times2 5 & -1-1 & 5
tem traço 10 e determinante 24, então seus autovalores são as raízes de lambda^2-10lambda+24=0, ou seja lambda=4 e lambda=6.
Além disso, o valor 4 já aparece trivialmente na primeira linha. Logo os autovalores de T são lambda1=4 (com multiplicidade geométrica 2) e lambda2=6.
Passo 4
Encontramos autovetores:
Para vindo da coordenada , basta
Para resolvemos
escolhendo
O segundo autovetor para no bloco vem de
tomando
Passo 5
Com esses autovetores formamos a matriz M cujas colunas são v1,v2,v3: