Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=C^4, T(x, y, z, w)=(x-y, x+y, 2 w, 2 z+w).
Para cada item acima, determine:
Os autovalores e os autoespaços de T.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Tcolon Vto V, V=C^4,
por
T(x,y,z,w) = (,x - y,;x + y,;2,w,;2,z + w,)
Pede-se encontrar todos os autovalores de T e, para cada um, descrever o respectivo autoespaço. Para isso vamos escrever a matriz de T na base canônica, calcular o polinômio característico, determinar os valores próprios e resolver (T-lambda I)v=0.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4 temos
[T] = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1
Note que essa matriz é bloco-diagonal, com
A = 1 & -11 & 1 sobre as coordenadas (x,y), B = 0 & 22 & 1 sobre (z,w)

Passo 3

Calculamos os autovalores de A. O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det1-lambda & -11 & 1-lambda =(1-lambda)^2-(-1)(1) =lambda^2-2lambda+2
As raízes são
lambda = 2pmraiz4-82 =1pm i

Passo 4

Para lambda1=1+i resolvemos
(A-(1+i)I)binomxy =-i & -11 & -ibinomxy=0 implies -i,x - y=0;Rightarrow;y=-i,x
Logo
E1+i = l(x,y,0,0)mid y=-i,xr = span(1,-i,0,0)
Analogamente, para lambda2=1-i obtém-se
y= i,x Longrightarrow E1-i = span(1,i,0,0)

Passo 5

Agora o bloco B. O polinômio característico é
det(B-lambda I) = det-lambda & 22 & 1-lambda =lambda^2-lambda-4,
cuja solução é
lambda = 1pmraiz1+162 = 1pmraiz172

Passo 6

Para lambda3=tfrac1+raiz172 resolvemos
(B-lambda3 I)binomzw =-lambda3 & 22 & 1-lambda3binomzw=0 ;Longrightarrow; -lambda3 z +2w=0;Rightarrow;w=lambda32z
Verifica-se que a segunda equação é equivalente pela relação lambda3^2-lambda3-4=0. Então
Elambda3 = l(0,0,z,w)mid w=tfraclambda32zr = span(0,0,1,tfraclambda32)
De modo análogo, para lambda4=tfrac1-raiz172
w=lambda42,z Longrightarrow Elambda4 = span(0,0,1,tfraclambda42)

Resposta

Autovalores de T e respectivos autoespaços:
(a) lambda1 = 1 + i,
E1+i = span(1,-i,0,0)
(b) lambda2 = 1 - i,
E1-i = span(1,i,0,0)
(c) lambda3 = 1+raiz172,
Elambda3 = spanl(0,0,1,tfrac1+raiz174)r
(d) lambda4 = 1-raiz172,
Elambda4 = spanl(0,0,1,tfrac1-raiz174)r

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