Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=C^4, T(x, y, z, w)=(x-y, x+y, 2 w, 2 z+w).
Para cada item acima, determine:
O polinômio característico de T.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear Tcolon Vto V em V=C^4 por
T(x,y,z,w) = (,x - y,;x + y,;2w,;2z + w,)
O objetivo é encontrar o polinômio característico de T, isto é,
pT(lambda) = detl(lambda I - [T]r),
onde [T] é a matriz de T na base canônica de C^4.

Passo 2

Vamos determinar [T] pela imagem dos vetores da base canônica e1,e2,e3,e4:
T(e1) = T(1,0,0,0) = (1,1,0,0), T(e2) = T(0,1,0,0) = (-1,1,0,0),
T(e3) = T(0,0,1,0) = (0,0,0,2), T(e4) = T(0,0,0,1) = (0,0,2,1)
Logo, na base canônica,
[T] = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1
Observamos que [T] é bloco-diagonal, com um bloco 2times2 em cima e outro em baixo.

Passo 3

Para o bloco superior
B = 1 & -11 & 1,
temos
lambda I2 - B = lambda-1 & 1-1 & lambda-1,
e portanto
det(lambda I2-B) = (lambda-1)^2 + 1 = lambda^2 - 2lambda + 2

Passo 4

Para o bloco inferior
C = 0 & 22 & 1,
temos
lambda I2 - C = lambda & -2-2 & lambda-1,
e então
det(lambda I2-C) = lambda(lambda-1) - 4 = lambda^2 - lambda - 4

Passo 5

Como [T] é bloco-diagonal, o determinante de lambda I - [T] é o produto dos determinantes dos blocos. Logo,
pT(lambda) = det(lambda I-[T]) = l(lambda^2 - 2lambda + 2r),l(lambda^2 - lambda - 4r)

Resposta

pT(lambda) = (lambda^2 - 2lambda + 2),(lambda^2 - lambda - 4)

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