Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=C^4, T(x, y, z, w)=(x-y, x+y, 2 w, 2 z+w).
Para cada item acima, determine:
As multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear T: C^4 to C^4 definida por
T(x,y,z,w) = (,x - y,; x + y,; 2w,;2z + w,)
Queremos determinar todos os autovalores de T e, para cada um, sua multiplicidade algébrica e geométrica.

Passo 2

Em relação à base canônica e1,e2,e3,e4, a matriz de T é
A = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1
Note que ela está em bloco-diagonal, com
B = 1 & -11 & 1 e C = 0 & 22 & 1

Passo 3

Como A é bloco-diagonal,
chiA(lambda) = chiB(lambda),chiC(lambda)
3.1 Para B temos
chiB(lambda) = detl(B - lambda I2r) = det1-lambda & -11 & 1-lambda = (,1-lambda)^2 + 1 = lambda^2 - 2lambda + 2,
cuja raízes são
lambda = 1 pm i
3.2 Para C temos
chiC(lambda) = detl(C - lambda I2r) = det-lambda & 22 & 1-lambda = -lambda(1-lambda) -4 = lambda^2 - lambda - 4,
cuja raízes são
lambda = 1 pm raiz1 + 162 = 1 pm raiz172

Passo 4

Os quatro autovalores de T são
1+i, 1-i, 1+raiz172, 1-raiz172
Como cada um aparece como raiz simples do polinômio característico, sua multiplicidade algébrica é 1.

Passo 5

Em espaços de dimensão finita, toda raiz simples do polinômio característico tem multiplicidade geométrica igual a 1. Logo cada autovalor acima tem espaço próprio de dimensão 1.

Resposta

Os autovalores e suas multiplicidades são:
lambda1 &= 1 + i, &mu< algébrica&=1, >=ométrica=1; lambda2 &= 1 - i, &mu< algébrica&=1, >=ométrica=1; lambda3 &= tfrac1+raiz172, &mu< algébrica&=1, >=ométrica=1; lambda4 &= tfrac1-raiz172, &mu< algébrica&=1, >=ométrica=1 éééééééé

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