Consideremos a aplicação linear
, definida em cada item abaixo:
.
Para cada item acima, determine:
Uma base
de
formada por autovetores de
.
Para cada item acima, determine:
Uma base
Passo 1
O enunciado pede uma base
de
formada por autovetores da aplicação linear
Para isso, vamos achar a matriz de
na base canônica, decompor em dois blocos
, calcular os autovalores de cada bloco e depois seus autovetores.
Passo 2
A matriz de
na base canônica
é
que se organiza em dois blocos:
Passo 3
Para o bloco
A1 , resolvemos o polinômio característico
cuja solução é
Passo 4
Os autovetores de
A1 satisfazem
Para
lambda1 = 1 + i temos
1-lambda1 = -i , então um autovetor é
Para
lambda2 = 1 - i segue
1-lambda2 = i , e um autovetor é
Passo 5
Para o bloco
A2 , o polinômio característico é
cuja solução é
Passo 6
Os autovetores de
A2 satisfazem
Escolhendo
z=2 obtemos
w=lambda . Para
lambda3 = tfrac1 + raiz172 e
lambda4 = tfrac1 - raiz172 , tomamos
Resposta
Uma base de
V formada por autovetores de
T é