Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=C^4, T(x, y, z, w)=(x-y, x+y, 2 w, 2 z+w).
Para cada item acima, determine:
Uma base B de V formada por autovetores de T.

Passo 1

O enunciado pede uma base B de V=C^4 formada por autovetores da aplicação linear
T(x,y,z,w) = (,x - y,;x + y,;2w,;2z + w,)
Para isso, vamos achar a matriz de T na base canônica, decompor em dois blocos 2times2, calcular os autovalores de cada bloco e depois seus autovetores.

Passo 2

A matriz de T na base canônica e1,e2,e3,e4 é
A = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1 ,
que se organiza em dois blocos:
A1 = 1 & -11 & 1 e A2 = 0 & 22 & 1

Passo 3

Para o bloco A1, resolvemos o polinômio característico
det!1-lambda & -11 & 1-lambda = (1-lambda)^2 +1 = 0,
cuja solução é
lambda1,2 = 1 pm i

Passo 4

Os autovetores de A1 satisfazem
(1-lambda)x - y = 0
Para lambda1 = 1 + i temos 1-lambda1 = -i, então um autovetor é
v1 = (1,,-i,,0,,0)
Para lambda2 = 1 - i segue 1-lambda2 = i, e um autovetor é
v2 = (1,,i,,0,,0)

Passo 5

Para o bloco A2, o polinômio característico é
det!-lambda & 22 & 1-lambda = lambda^2 - lambda - 4 = 0,
cuja solução é
lambda3,4 = 1 pm raiz172

Passo 6

Os autovetores de A2 satisfazem
-lambda z + 2w = 0 Longrightarrow w = lambda2,z
Escolhendo z=2 obtemos w=lambda. Para
lambda3 = tfrac1 + raiz172 e lambda4 = tfrac1 - raiz172, tomamos
v3 = (0,,0,,2,,lambda3), v4 = (0,,0,,2,,lambda4)

Resposta

Uma base de V formada por autovetores de T é
B = l,v1,,v2,,v3,,v4r = l(1,-i,0,0),,(1,i,0,0),,(0,0,2,tfrac1+raiz172),,(0,0,2,tfrac1-raiz172)r

Exercícios relacionados