Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=C^4, T(x, y, z, w)=(x-y, x+y, 2 w, 2 z+w).
Para cada item acima, determine:
A matriz de T, em relação a base B.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear Tcolon Vto V com V=C^4 dada por
T(x,y,z,w) = (x - y,;x + y,;2w,;2z + w)
Queremos a matriz de T em relação à base canônica B = b1,b2,b3,b4. Para isso usamos o fato de que as colunas de [T]B são as coordenadas de T(bj) na própria base B.

Passo 2

Identificamos os vetores da base canônica:
b1 = (1,0,0,0), b2 = (0,1,0,0), b3 = (0,0,1,0), b4 = (0,0,0,1)

Passo 3

Calculamos T(b1) e T(b2):
T(b1)=T(1,0,0,0) = (1-0,;1+0,;0,;0) = (1,1,0,0),
T(b2)=T(0,1,0,0) = (0-1,;0+1,;0,;0) = (-1,1,0,0)

Passo 4

Calculamos T(b3) e T(b4):
T(b3)=T(0,0,1,0) = (0-0,;0+0,;0,;2cdot1+0) = (0,0,0,2),
T(b4)=T(0,0,0,1) = (0-0,;0+0,;2cdot1,;2cdot0+1) = (0,0,2,1)

Passo 5

Agora montamos a matriz cujas colunas são T(b1),T(b2),T(b3),T(b4):
[T]B = 1 & -1 & 0 & 0 [6pt] 1 & ;,1 & 0 & 0 [6pt] 0 & ;,0 & 0 & 2 [6pt] 0 & ;,0 & 2 & 1 ]

Resposta

[T]B = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1

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