Consideremos a aplicação linear T: V V, definida em cada item abaixo:
V=C^4, T(x, y, z, w)=(x-y, x+y, 2 w, 2 z+w).
Para cada item acima, determine:
Uma matriz M tal que M^-1[T]C M seja uma matriz diagonal, sendo C a base canônica de V.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização do operador linear
Tcolon C^4toC^4, T(x,y,z,w)=(x-y,;x+y,;2w,;2z+w),
isto é, encontrar uma matriz invertível M tal que
M^-1,[T] C,M
seja diagonal. O conteúdo usado é cálculo de autovalores e autovetores de blocos 2times2 e montagem de base própria.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de T na base canônica C:
[T] C = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 2 & 1
é bloco diagonal em dois subespaços de dimensão 2.

Passo 3

No primeiro bloco,
A=1&-11&1,
o polinômio característico é
det(A-lambda I)=(1-lambda)^2+1=0Longrightarrow lambda1,2=1pm i
Para lambda1=1+i um autovetor satisfaz
(1-(1+i)),x - y= -i,x - y=0Longrightarrow y=-i,x,
logo escolhemos
v1=(1,,-i,,0,,0)^T
Para lambda2=1-i análogo dá y=+i,x, de onde
v2=(1,,i,,0,,0)^T

Passo 4

No segundo bloco,
B=0&22&1,
o polinômio é
lambda^2-lambda-4=0Longrightarrow lambda3,4=1pmraiz172
Para lambda3=tfrac1+raiz172 resolvemos
-lambda3,z + 2,w=0Longrightarrow w=lambda32,z,
e escolhemos z=1, w=tfraclambda32, obtendo
v3=(0,,0,,1,,tfrac1+raiz174)^T
Para lambda4=tfrac1-raiz172 segue igualmente
v4=(0,,0,,1,,tfrac1-raiz174)^T

Passo 5

Tomando M cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3,v4, temos
M= 1 & 1 & 0 & 0 -i & i & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & tfrac1+raiz174 & tfrac1-raiz174 ,
e fica
M^-1[T] CM =diag!l(1+i,;1-i,;tfrac1+raiz172,;tfrac1-raiz172r)

Resposta

M= 1 & 1 & 0 & 0 -i & i & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & tfrac1+raiz174 & tfrac1-raiz174 , M^-1[T] CM = 1+i & 0 & 0 & 0 0 & 1-i & 0 & 0 0 & 0 & tfrac1+raiz172 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac1-raiz172

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