Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x, 3 y, 2 x-7 y+z+w,-5 x+2 y-z+3 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
Os autovalores e os autoespaços.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autoespaços do operador linear
T(x,y,z,w) = (3x,;3y,;2x-7y+z+w,;-5x+2y-z+3w)
definido em R^4. Vamos representar T por sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico para achar os autovalores e, em seguida, resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 3 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 2 & -7 & 1 & 1 -5 & 2 & -1 & 3
Note-se que é uma matriz em bloco triangular, com o bloco superior 3I2 e o bloco inferior
C = 1 & 1 -1 & 3
Logo o polinômio característico é
det(A-lambda I) = det(3I2-lambda I2),det(C-lambda I2) = (3-lambda)^2;det!1-lambda & 1-1 & 3-lambda
Calculando
det!1-lambda & 1-1 & 3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)+1 =lambda^2-4lambda+4=(lambda-2)^2

Passo 3

Portanto
det(A-lambda I)=(3-lambda)^2(lambda-2)^2
e os autovalores são
lambda1=3(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=2(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Para
ou seja o sistema
Da segunda equação é

Passo 5

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0. Aqui
A-2I = 1&0&0&0 0&1&0&0 2&-7&-1&1 -5&2&-1&1 ,
o que força x=0 e y=0. As duas últimas equações coincidem e dão w=z. Então
(x,y,z,w)=(0,0,z,z) =z,(0,0,1,1)
Portanto o autoespaço para lambda=2 é
E2 = span(0,0,1,1)

Resposta

Autovalores e autoespaços de T:
(a) lambda=3, autoespaço
E3 = span(1,0,-5,-12),,(0,1,2,11)
(b) lambda=2, autoespaço
E2 = span(0,0,1,1)

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