Consideremos o operador T: R^4 R^4, definido por:
T(x, y, z, w)=(3 x, 3 y, 2 x-7 y+z+w,-5 x+2 y-z+3 w).
Para cada operator, encontre o que se pede a seguir:
O polinômio característico.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de TcolonR^4toR^4 dado por
T(x,y,z,w)=(3x,,3y,,2x-7y+z+w,,-5x+2y-z+3w)
Para isso vamos montar a matriz de T na base canônica, calcular det(lambda I - A) e fatorar o resultado.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4 a matriz A que representa T é
A = 3 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 2 & -7 & 1 & 1 -5 & 2 & -1 & 3

Passo 3

Escrevemos lambda I - A como bloco triangular superior, pois os dois blocos superiores à direita são nulos:
lambda I - A = lambda-3 & 0 & 0 & 0 0 & lambda-3 & 0 & 0 -2 & 7 & lambda-1 & -1 5 & -2 & 1 & lambda-3 = B & 0[6pt] C & D ,
com
B = lambda-3 & 0[3pt]0 & lambda-3, D = lambda-1 & -1[3pt]1 & lambda-3
Como é bloco triangular,
det(lambda I - A)=det(B),det(D)=(lambda-3)^2det(D) ]

Passo 4

Calculamos det(D):
det(D) =(lambda-1)(lambda-3)-(-1)cdot1 =lambda^2-4lambda+3+1 =lambda^2-4lambda+4 =(lambda-2)^2

Passo 5

Substituindo em det(lambda I - A) obtemos
det(lambda I - A) =(lambda-3)^2(lambda-2)^2

Resposta

O polinômio característico de T é
p(lambda)=(lambda-3)^2(lambda-2)^2

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