Consideremos a aplicação matricial T: R^4 R^3, onde T=(cccc1 & 2 & 3 & 1 1 & 3 & 5 & -2 3 & 8 & 13 & -3). Ache a dimensão e uma base do núcleo de T e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Pede-se a dimensão e uma base do núcleo e da imagem . Vamos usar eliminação de Gauss para achar , e então usar o teorema do posto para .

Passo 2

Escrevemos o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
e subtraindo .

Passo 3

Das equações independentes ficamos com
x1+2x2+3x3+x4=0, x2+2x3-3x4=0
Tomamos x3=s e x4=t como parâmetros livres. Da segunda equação segue
x2=-2s+3t,
e da primeira
x1=-2x2-3x3-x4 =-2(-2s+3t)-3s-t =s-7t

Passo 4

Assim o vetor genérico do núcleo é
(x1,x2,x3,x4) =(s-7t,,-2s+3t,,s,,t) =s,(1,-2,1,0)+t,(-7,3,0,1)
Portanto
dim(ker T)=2,
e uma base é
(1,-2,1,0),;(-7,3,0,1)

Passo 5

Pelo teorema da dimensão (posto + nulidade =4) já vimos que rank(T)=2, então
dim(Im,T)=2
Como colunas independentes podemos escolher as colunas 1 e 2 da matriz de T, por exemplo:
113, 238
são linearmente independentes e geram todas as outras colunas.

Resposta

dim(ker T)=2, base do núcleo
(1,-2,1,0),;(-7,3,0,1)
dim(Im,T)=2, base da imagem
l113,;238r

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