Consideremos a aplicação matricial
, onde
. Ache a dimensão e uma base do núcleo de
T e da imagem de
T .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
Pede-se a dimensão e uma base do núcleo
e da imagem
. Vamos usar eliminação de Gauss para achar
, e então usar o teorema do posto para
.
Passo 2
Escrevemos o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
e subtraindo .
Passo 3
Das equações independentes ficamos com
Tomamos
x3=s e
x4=t como parâmetros livres. Da segunda equação segue
e da primeira
Passo 4
Assim o vetor genérico do núcleo é
Portanto
e uma base é
Passo 5
Pelo teorema da dimensão (posto
+ nulidade
=4 ) já vimos que
rank(T)=2 , então
Como colunas independentes podemos escolher as colunas
1 e
2 da matriz de
T , por exemplo:
são linearmente independentes e geram todas as outras colunas.