Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas n times n sobre R. Seja M uma matriz arbitrária de V. Seja T: V V definida por T(A)=A M+M A, onde A in V. Verifique se T é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a transformação T , definida por T(A) = A M + M A , é linear no espaço vetorial das matrizes quadradas n times n sobre R . Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear e aplicar essas propriedades para confirmar se T cumpre os requisitos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função T: V V entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores A, B in V e qualquer escalar c in R , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Aditividade: T(A + B) = T(A) + T(B)
  2. Homogeneidade: T(cA) = cT(A)
Vamos verificar se T satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Queremos ver se T(A + B) = T(A) + T(B) .
Calculando T(A + B) :
T(A + B) = (A + B) M + M (A + B) = A M + B M + M A + M B
Agora, calculando T(A) + T(B) :
T(A) + T(B) = (A M + M A) + (B M + M B) = A M + M A + B M + M B
Observamos que T(A + B) = T(A) + T(B) , então a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Queremos ver se T(cA) = cT(A) .
Calculando T(cA) :
T(cA) = (cA) M + M (cA) = c(A M) + c(M A) = c(A M + M A)
Agora, calculando cT(A) :
cT(A) = c(A M + M A) = cA M + cM A
Novamente, vemos que T(cA) = cT(A) , então a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação T é linear.

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