Seja
o espaço vetorial das matrizes quadradas
sobre
. Seja
uma matriz arbitrária de
. Seja
definida por
, onde
. Verifique se
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se a transformação
, definida por
, é linear no espaço vetorial das matrizes quadradas
sobre
. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear e aplicar essas propriedades para confirmar se
cumpre os requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos verificar se
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Queremos ver se
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que
, então a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Queremos ver se
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Novamente, vemos que
, então a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.