Seja U=R^3 com bases B=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Determine a matriz mudança de base de C para B.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial U=R^3 com duas bases:
– a base canônica
;C = (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1),
– a base B = b1,b2,b3 onde
b1 = (1,2,0), b2=(1,3,2), b3=(0,1,3)
Queremos a matriz de mudança de base de C para B, ou seja, a matriz P que leva coordenadas em C em coordenadas em B:
[v]B ;=; P,[v]C

Passo 2

Para achar P observamos que um vetor v com coordenadas [v]C=x (em C) satisfaz
v ;=; Icdot x ;=; M,c,
onde c=[v]B e M é a matriz cujas colunas são os vetores de B na base canônica. Assim,
M = 1 & 1 & 0 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3
e M,c = x. Logo [v]B = c = M^-1x, de modo que
P = M^-1

Passo 3

Primeiro calculamos det(M) para verificar inversibilidade.
det(M) = 1cdotdet3&12&3 -1cdotdet2&10&3 +0cdotl(dotsr) =1,(9-2)-1,(6-0)=7-6=1neq0
Portanto M é inversível.

Passo 4

Vamos calcular M^-1 por cofatores. A matriz de cofatores (antes da transposição) é
7 & -6 & 4 -3 & 3 & -2 1 & -1 & 1 ,
e sua transposta (a matriz adjunta) é
adj(M) = 7 & -3 & 1 -6 & 3 & -1 4 & -2 & 1
Como det(M)=1, temos
M^-1 = 1det(M),adj(M) = 7 & -3 & 1 -6 & 3 & -1 4 & -2 & 1

Passo 5

Concluímos que a matriz de mudança de base de C para B é
P = M^-1 = 7 & -3 & 1 -6 & 3 & -1 4 & -2 & 1

Resposta

7 & -3 & 1 -6 & 3 & -1 4 & -2 & 1

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