Mostre que se lambda é autovalor do operador linear T: V V e v é um autovetor associado a lambda:
O conjunto formado pelos autovetores associados a lambda e pelo vetor nulo é subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon Vto V e um autovalor lambda com autovetor associado vneq0 tal que T(v)=lambdav. Queremos mostrar que
Elambda=win V mid T(w)=lambdawcup0
é subespaço de V. Para isso usamos o critério: um subconjunto de V é subespaço se contém 0 e é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que 0in Elambda. Como T é linear,
T(0)=0=lambda,0,
logo 0 satisfaz T(0)=lambda0 e pertence a Elambda. Além disso, existe vneq0 com T(v)=lambdav, então Elambda não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam u,win Elambda. Então
T(u+w) = T(u)+T(w) = lambda,u+lambda,w = lambda,(u+w),
logo u+w também está em Elambda.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: para qualquer escalar alpha e uin Elambda,
T(alpha,u) = alpha,T(u) = alpha,(lambda,u) = lambda,(alpha,u),
portanto alpha,uin Elambda.

Resposta

Elambda contém 0 e é fechado em soma e multiplicação escalar. Logo Elambda é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados