Mostre que se
é autovalor do operador linear
e
é um autovetor associado a
:
O conjunto formado pelos autovetores associados a
e pelo vetor nulo é subespaço vetorial de
.
O conjunto formado pelos autovetores associados a
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
e um autovalor
com autovetor associado
tal que
. Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso usamos o critério: um subconjunto de
é subespaço se contém
e é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
. Como
é linear,
logo
satisfaz
e pertence a
. Além disso, existe
com
, então
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
. Então
logo
também está em
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: para qualquer escalar
e
,
portanto
.