Determine os autovalores e autovetores de A=[rrr-1 & -2 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0] em um espaço vetorial:
real.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = -1 & -2 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0
num espaço vetorial sobre R. Vamos usar o conceito de autovalor como raiz do polinômio característico det(A-lambda I)=0 e, em seguida, resolver (A-lambda I)x=0 para cada autovalor real.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico:
det(A-lambda I) = -1-lambda & -2 & 0 0 & -1-lambda & 1 1 & 0 & -lambda =(-1-lambda)l((-1-lambda)(-lambda)-1cdot0r) -(-2)l(0cdot(-lambda)-1cdot1r)
=-(1+lambda)^2,lambda-2
Multiplicando por -1, obtemos
p(lambda)=lambda(1+lambda)^2+2 =lambda^3+2lambda^2+lambda+2

Passo 3

Fatorando p(lambda):
p(lambda)=lambda^3+2lambda^2+lambda+2 =(lambda+2)(lambda^2+1)
As raízes são lambda=-2 e lambda=pm i. Como estamos em espaço real, só lambda=-2 é autovalor em R.

Passo 4

Para lambda=-2 resolvemos (A+2I)x=0.
A+2I= 1 & -2 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 , x=(x,y,z)^T
O sistema é
x-2y=0,
y+z=0,
x+2z=0
Da segunda equação z=-y. Da primeira x=2y. A terceira fica 2y+2(-y)=0, que já é satisfeita.
Logo o autovetor geral é
x=y,(2,1,-1)^T, yinR

Resposta

O único autovalor real é lambda=-2 e seu autovetor (até escala) é
(2,,1,,-1)^T

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