Consideremos as aplicações
e
definidas, respectivamente, por:
(a) Mostre que
e
são formas lineares.
Passo 1
O enunciado dá duas aplicações
e
O conteúdo é verificar que cada
satisfaz as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade), mostrando que são formas lineares.
Passo 2
Uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, valem
e
Passo 3
Verificamos a aditividade de
. Tomemos
. Então
Passo 4
Verificamos a homogeneidade de
. Para
e
, temos
Passo 5
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é uma forma linear.
Passo 6
Verificamos a aditividade de
. Tomemos
. Então
Passo 7
Verificamos a homogeneidade de
. Para
e
, temos
Passo 8
Como
também satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é uma forma linear.
Resposta
Provamos que ambas as aplicações
e
satisfazem as propriedades de linearidade, logo são formas lineares.