Consideremos as aplicações f1: R^2 R e f2: R^3 R definidas, respectivamente, por:
f1(x, y)=2 x+5 y e f2(x, y, z)=3 x-y+7 z
(a) Mostre que f1 e f2 são formas lineares.

Passo 1

O enunciado dá duas aplicações
f1colon R^2toR, f1(x,y)=2x+5y
e
f2colon R^3toR, f2(x,y,z)=3x - y +7z
O conteúdo é verificar que cada fi satisfaz as propriedades de linearidade (aditividade e homogeneidade), mostrando que são formas lineares.

Passo 2

Uma aplicação f entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v e escalar alpha, valem
f(u+v)=f(u)+f(v)
e
f(alpha,u)=alpha,f(u)

Passo 3

Verificamos a aditividade de f1. Tomemos (x1,y1), (x2,y2)inR^2. Então
f1l((x1,y1)+(x2,y2)r) = f1(x1+x2,,y1+y2) = 2(x1+x2) + 5(y1+y2)
= (2x1+5y1) + (2x2+5y2) = f1(x1,y1) + f1(x2,y2)

Passo 4

Verificamos a homogeneidade de f1. Para alphainR e (x,y)inR^2, temos
f1l(alpha,(x,y)r) = f1(alpha x,alpha y) = 2(alpha x) + 5(alpha y) = alpha,(2x+5y) = alpha,f1(x,y)

Passo 5

Como f1 satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que f1 é uma forma linear.

Passo 6

Verificamos a aditividade de f2. Tomemos (x1,y1,z1), (x2,y2,z2)inR^3. Então
f2l((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = f2(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
= 3(x1+x2) - (y1+y2) + 7(z1+z2)
= (3x1-y1+7z1) + (3x2-y2+7z2) = f2(x1,y1,z1) + f2(x2,y2,z2)

Passo 7

Verificamos a homogeneidade de f2. Para alphainR e (x,y,z)inR^3, temos
f2l(alpha,(x,y,z)r) = f2(alpha x,alpha y,alpha z) = 3(alpha x) - (alpha y) + 7(alpha z) = alpha,(3x - y + 7z) = alpha,f2(x,y,z)

Passo 8

Como f2 também satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que f2 é uma forma linear.

Resposta

Provamos que ambas as aplicações f1 e f2 satisfazem as propriedades de linearidade, logo são formas lineares.

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