Consideremos as aplicações
e
definidas, respectivamente, por:
(b) Calcule nuc
e nuc
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas aplicações lineares
e
e pede para calcular
e
. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de núcleo (kernel) de uma transformação linear.
Passo 2
Lembrando a definição, para uma aplicação linear
temos
Ou seja, precisamos resolver as equações homogêneas
e
para caracterizar cada núcleo como subespaço do domínio.
Passo 3
Para
impondo
, basta escolher um parâmetro livre. Seja
. Então
Logo um vetor genérico do núcleo é
Podemos escalar o vetor de interesse para evitar frações e obter a base
. Assim
Passo 4
Para
resolvemos
. Tomemos dois parâmetros livres, digamos
e
. Então
Logo um vetor genérico do núcleo é
Multiplicando cada vetor gerador por 3 para simplificar, obtemos a base
. Assim