Consideremos as aplicações f1: R^2 R e f2: R^3 R definidas, respectivamente, por:
f1(x, y)=2 x+5 y e f2(x, y, z)=3 x-y+7 z
(b) Calcule nuc (f1) e nuc (f2).

Passo 1

O enunciado nos dá duas aplicações lineares
f1colon R^2to R, f1(x,y)=2x+5y
e
f2colon R^3to R, f2(x,y,z)=3x-y+7z,
e pede para calcular ker(f1) e ker(f2). O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de núcleo (kernel) de uma transformação linear.

Passo 2

Lembrando a definição, para uma aplicação linear fcolon Vto W temos
ker(f)=vin Vmid f(v)=0
Ou seja, precisamos resolver as equações homogêneas f1(x,y)=0 e f2(x,y,z)=0 para caracterizar cada núcleo como subespaço do domínio.

Passo 3

Para f1(x,y)=2x+5y impondo 2x+5y=0, basta escolher um parâmetro livre. Seja y=t. Então
2x+5t=0Longrightarrow x=-52,t
Logo um vetor genérico do núcleo é
(x,y)=l(-tfrac52t,;tr)=tl(-tfrac52,1r)
Podemos escalar o vetor de interesse para evitar frações e obter a base (-5,2). Assim
ker(f1)=span(-5,2)

Passo 4

Para f2(x,y,z)=3x-y+7z resolvemos 3x-y+7z=0. Tomemos dois parâmetros livres, digamos y=s e z=t. Então
3x - s +7t=0Longrightarrow x=s-7t3
Logo um vetor genérico do núcleo é
(x,y,z)=l(tfracs-7t3,,s,,tr) =sl(tfrac13,1,0r)+tl(-tfrac73,0,1r)
Multiplicando cada vetor gerador por 3 para simplificar, obtemos a base (1,3,0),,(-7,0,3). Assim
ker(f2)=span(1,3,0),,(-7,0,3)

Resposta

ker(f1)=span(-5,2),
ker(f2)=span(1,3,0),,(-7,0,3)

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