Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), C=(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1) bases de R^3 e T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y,-x+y+z, y-2 z)
Determine as matrizes mudança de bases, de B para C e de C para B. Existe alguma relação entre elas?

Passo 1

O enunciado pede para calcular as matrizes de mudança de base entre a base canônica
B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
e a base
C=(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1)
em R^3. Lembrando que a matriz de mudança de base de C para B, que chamamos de PCtoB, tem como colunas os vetores de C escritos em coordenadas da base B. A matriz de mudança de base de B para C é o inverso dessa, PBtoC=(PCtoB)^-1.

Passo 2

Montamos
PCtoB =l[,[(1,1,0)]B;;[(0,1,1)]B;;[(1,1,1)]B,r] = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1

Passo 3

Como det PCtoB=1, o inverso é dado pela matriz adjunta. Calculando cofatores e transpondo obtemos
PBtoC =(PCtoB)^-1 = 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1

Passo 4

Portanto as duas matrizes são inversas uma da outra:
PBtoC =(PCtoB)^-1

Resposta

PCtoB = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 , PBtoC = 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 ,
e vale a relação
PBtoC =(PCtoB)^-1

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