Sejam B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), C=(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1) bases de R^3 e T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x-y,-x+y+z, y-2 z)
Mostre que T é isomorfismo e determine T^-1.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - y,;-x + y + z,;y - 2z,)
Queremos mostrar que T é um isomorfismo (isto é, invertível) e determinar a fórmula de T^-1. Para isso, vamos usar a matriz de T na base padrão e o cálculo de determinante e solução de sistema linear.

Passo 2

Na base padrão B=e1,e2,e3, as colunas da matriz de T são T(e1), T(e2) e T(e3). Calculamos:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,-1,0), T(e2)=T(0,1,0)=(-1,1,1), T(e3)=T(0,0,1)=(0,1,-2)
Logo a matriz é
A = [T]B = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 1 0 & 1 & -2

Passo 3

Para verificar que T é invertível, basta ver que det(A)neq0. Calculamos
det(A) = 1cdot(1cdot(-2)-1cdot1);-;(-1)cdot((-1)cdot(-2)-1cdot0) ;+;0 = -3 ;-;(-2) = -1 neq 0
Como det(A)=-1neq0, T é isomorfismo.

Passo 4

Para achar
ou seja
Da primeira equação (,x = u_1 + y]. Substituindo na segunda,

Da terceira obtemos

E então

Passo 5

Portanto, para (u1,u2,u3)inR^3,
T^-1(u1,u2,u3) = l(3u1 + 2u2 + u3,;2u1 + 2u2 + u3,;u1 + u2r)

Resposta

T é um isomorfismo (pois det(A)=-1neq0) e
T^-1(x,y,z) = l(3x + 2y + z,;2x + 2y + z,;x + yr)

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