Consideremos
beta1=(1,2),(-1,-1)
e
beta2=(1,2,0),(0,1,-1),(1,0,-1)
bases de R^2 e R^3, respectivamente. Seja então T: R^2 R^3 transformação linear definida pela matriz
[T]beta2^beta1=[cc -1 & 1 2 & 0 1 & -2 ]
Encontre uma expressão algébrica para T(x, y).

Passo 1

O enunciado dá duas bases
beta1=(1,2),(-1,-1)subsetR^2, beta2=(1,2,0),(0,1,-1),(1,0,-1)subsetR^3
e uma transformação linear T:R^2toR^3 cuja matriz de beta1-coordenadas para beta2-coordenadas é
[T]beta2^beta1 = -1 & 1 2 & 0 1 & -2
Nosso objetivo é achar T(x,y) em coordenadas padrão, ou seja, expressar diretamente T(x,y).

Passo 2

Primeiro expressamos um vetor genérico
Resolvendo: da primeira -coordenadas é
]

Passo 3

Aplicamos a matriz de T a esse vetor de coordenadas:
-1 & 1[3pt] 2 & 0[3pt] 1 & -2 y - x[3pt]y - 2x = -(y - x) + (y - 2x)[4pt] 2(y - x) + 0[4pt] (y - x) -2(y - 2x) = - x[4pt] 2y - 2x[4pt] 3x - y
Chamemos esse resultado de d1 d2 d3.]

Passo 4

Agora voltamos das coordenadas de beta2 para o padrão em R^3. Como
beta2=w1,w2,w3 com w1=(1,2,0),; w2=(0,1,-1),; w3=(1,0,-1),
temos
T(x,y)=d1,w1+d2,w2+d3,w3
Substituindo d1=-x, d2=2y-2x, d3=3x-y e somando componente a componente, obtemos
T(x,y) = l(2x - y,;-4x + 2y,;-x - yr)

Resposta

T(x,y) = l(2x - y,,-4x + 2y,,-x - yr)

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