Qual é a transformação linear T: R^2 R^3 tal que T(1,0) = (2,-1,0) e T(0,1)=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: R^2 to R^3
que satisfaça
T(1,0) = (2,-1,0), T(0,1) = (0,0,1)
Para resolver isso vamos usar o fato de que (1,0),(0,1) é base de R^2 e a propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Seja um vetor genérico (x,y)inR^2. Como
(x,y) = x,(1,0) ;+; y,(0,1),
pela linearidade de T temos
T(x,y) = x,T(1,0) ;+; y,T(0,1) = x,(2,-1,0) ;+; y,(0,0,1)

Passo 3

A partir da expressão anterior, podemos ler a matriz de T nas bases canônicas (colunas são T(1,0) e T(0,1)):
A = 2 & 0 -1 & 0 0 & 1

Resposta

T(x,y) = (2x,,-x,;y)

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