Determinar o valor de alpha para que sejam coplanares os vetores
u=(2,-1, alpha), v=(1,0,2), w=(alpha, 3, alpha)

Passo 1

O enunciado pede o valor de alpha para que os vetores
u=(2,-1,alpha), v=(1,0,2) e w=(alpha,3,alpha)
sejam coplanares. Isso envolve o conteúdo de dependência linear em R^3 e o produto misto (ou triplo escalar), que se iguala a zero quando os três vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Em R^3, três vetores são coplanares se e somente se o produto misto deles for zero. Podemos calcular esse produto misto como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
M = 2 & -1 & alpha 1 & 0 & 2 alpha & 3 & alpha
Devemos impor
det M = 0

Passo 3

Vamos expandir det M pela regra de Laplace na primeira linha:
det M = 2cdotdet0 & 2 3 & alpha -(-1)cdotdet1 & 2 alpha & alpha +alphacdotdet1 & 0 alpha & 3
Calculando cada menor:
det0 & 2 3 & alpha = 0cdotalpha - 2cdot3 = -6, det1 & 2 alpha & alpha = 1cdotalpha - 2cdotalpha = -alpha, det1 & 0 alpha & 3 = 1cdot3 - 0cdotalpha = 3
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det M = 2(-6) -(-1)(-alpha) + alphacdot3 = -12 -alpha + 3alpha = 2alpha - 12

Passo 4

Impondo det M = 0 temos
2alpha - 12 = 0 Longrightarrow alpha = 6

Resposta

6

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