Consideremos a cônica de equação
Determine o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola no sistema
.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede as características da parábola em um sistema girado
. Como o discriminante
, trata-se de uma parábola. Para achar vértice, foco e diretriz vamos (
) eliminar o termo
por rotação de eixos e obter a forma canônica, (
) completar quadrado e identificar essas quantidades no novo sistema.
Passo 2
Determinamos o ângulo de rotação
tal que
. Tomamos
e definimos a mudança
Substituindo na equação original obtém-se, após simplificar,
Passo 3
Reescrevemos em função de
e
isolando
:
Para encontrar o vértice completamos quadrado em
. Multiplicando ambos os lados por
e isolando termos em
:
Logo, definindo
a parábola fica
forma padrão de uma parábola que abre para
.
Passo 4
Da forma
vemos que
Assim, no sistema
o vértice é
, o foco é
e a diretriz é
. Voltando a
:
Como
e
, esses são os resultados no sistema girado.
Resposta
Vértice:
Foco:
Diretriz:
Foco:
Diretriz: