Consideremos a cônica de equação
4 x^2-4 x y+y^2-18 x-16 y+39=0
Determine o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola no sistema barx barO bary.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^2-4xy+y^2-18x-16y+39=0
e pede as características da parábola em um sistema girado bar xbar Obar y. Como o discriminante B^2-4AC=(-4)^2-4cdot4cdot1=0, trata-se de uma parábola. Para achar vértice, foco e diretriz vamos ( 1) eliminar o termo xy por rotação de eixos e obter a forma canônica, ( 2) completar quadrado e identificar essas quantidades no novo sistema.

Passo 2

Determinamos o ângulo de rotação theta tal que tan(2theta)=BA-C=-44-1=-43. Tomamos
costheta=2raiz5, sintheta=-1raiz5,
e definimos a mudança
bar x=u=2x - yraiz5, bar y=v=x + 2yraiz5
Substituindo na equação original obtém-se, após simplificar,
5,u^2;-;4raiz5,u;-;10raiz5,v;+;39;=;0

Passo 3

Reescrevemos em função de u e v isolando v:
10raiz5,v = 5u^2-4raiz5,u+39 ;Longrightarrow; v =u^22raiz5-2u5+3910raiz5
Para encontrar o vértice completamos quadrado em u. Multiplicando ambos os lados por 2raiz5 e isolando termos em u:
2raiz5,v = u^2-4raiz55u+395 = l(u-2raiz55r)^2-45+395 = l(u-2raiz55r)^2+7
Logo, definindo
U = u-2raiz55, V = v-72raiz5,
a parábola fica
V=U^22raiz5,
forma padrão de uma parábola que abre para V>0.

Passo 4

Da forma V=14pU^2 vemos que
14p=12raiz5 ;Longrightarrow; p=raiz52
Assim, no sistema (U,V) o vértice é (0,0), o foco é (0,p) e a diretriz é V=-p. Voltando a (u,v):
bul<=t Vértice em (u,v):
l(u0,v0r) = l(tfrac2raiz55,;tfrac72raiz5r)
bul<=t Foco em (u,v):
l(uf,vfr) = l(tfrac2raiz55,;tfrac72raiz5+tfracraiz52r) = l(tfrac2raiz55,;tfrac6raiz5r)
bul<=t Diretriz em (u,v):
v-72raiz5 = -raiz52 ;Longrightarrow; v=1raiz5
Como bar x=u e bar y=v, esses são os resultados no sistema girado.

Resposta

Vértice: l(bar x0,bar y0r)=l(tfrac2raiz55,,tfrac72raiz5r)
Foco: l(bar xf,bar yfr)=l(tfrac2raiz55,,tfrac6raiz5r)
Diretriz: bar y=1raiz5

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