Decida a posição relativa entre os planos alpha : x+2 y+3 z-1=0 e x-y+z-1=0. Caso os planos sejam concorrentes deternine a equação vetorial da reta de interseção de alpha e beta, sem resolver sistemas.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
alpha:;x+2y+3z-1=0 e beta:;x - y + z -1=0
e pede que a gente descubra a posição relativa entre eles. Se eles se intersectam (isto é, são concorrentes), devemos encontrar a reta de interseção em forma vetorial, sem resolver diretamente sistemas lineares. Para isso vamos usar o conceito de vetores normais e produto vetorial.

Passo 2

Cada plano pode ser escrito como
n1cdot r = d1, n2cdot r = d2
onde
n1=(1,2,3),;d1=1, n2=(1,-1,1),;d2=1
Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se e só se n1 e n2 forem colineares, isto é, um for múltiplo escalar do outro. Aqui claramente não existe lambda tal que
(1,2,3)=lambda(1,-1,1),
logo os planos não são paralelos. Concluímos que eles se intersectam numa reta.

Passo 3

A direção da reta de interseção é dada pelo produto vetorial dos normais:
v = n1 times n2
Calculando
v = (1,2,3)times(1,-1,1) =(,2cdot1-3cdot(-1),;3cdot1-1cdot1,;1cdot(-1)-2cdot1) =(5,,-10,; -3-?)
Refazendo com a fórmula padrão
v=(a2b3-a3b2,;a3b1-a1b3,;a1b2-a2b1)
para a=(1,2,3), b=(1,-1,1), obtemos
v=(2cdot1-3cdot(-1),;3cdot1-1cdot1,;1cdot(-1)-2cdot1) =(2+3,;3-1,;-1-2) =(5,2,-3)

Passo 4

Para achar um ponto p0 qualquer na reta sem resolver sistemas, usamos a fórmula
p0 =(d1,n2 - d2,n1)times v|v|^2
Aqui d1=d2=1, então
d1,n2 - d2,n1 =(1,-1,1)-(1,2,3) =(0,-3,-2)
O produto com v=(5,2,-3)
(0,-3,-2)times(5,2,-3) =(,(-3)(-3)-(-2)2,;(-2)5-0(-3),;0cdot2-(-3)5) =(9+4,;-10,;15) =(13,-10,15)
E
|v|^2=5^2+2^2+(-3)^2=38
Logo
p0=l(tfrac1338,,-tfrac1038,,tfrac1538r) =l(tfrac1338,,-tfrac519,,tfrac1538r)

Passo 5

A equação vetorial da reta de interseção é
r(t)=p0 + t,v,
isto é
r(t)=l(tfrac1338,,-tfrac519,,tfrac1538r) + t,(5,2,-3)

Resposta

A reta de interseção entre alpha e beta é
boxedr(t)=l(tfrac1338,,-tfrac519,,tfrac1538r) + t,(5,2,-3)

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