Decida a posição relativa entre os planos
:
e
. Caso os planos sejam concorrentes deternine a equação vetorial da reta de interseção de
e
, sem resolver sistemas.
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e pede que a gente descubra a posição relativa entre eles. Se eles se intersectam (isto é, são concorrentes), devemos encontrar a reta de interseção em forma vetorial, sem resolver diretamente sistemas lineares. Para isso vamos usar o conceito de vetores normais e produto vetorial.
Passo 2
Cada plano pode ser escrito como
onde
Dois planos são paralelos (ou coincidentes) se e só se
e
forem colineares, isto é, um for múltiplo escalar do outro. Aqui claramente não existe
tal que
logo os planos não são paralelos. Concluímos que eles se intersectam numa reta.
Passo 3
A direção da reta de interseção é dada pelo produto vetorial dos normais:
Calculando
Refazendo com a fórmula padrão
para
,
, obtemos
Passo 4
Para achar um ponto
qualquer na reta sem resolver sistemas, usamos a fórmula
Aqui
, então
O produto com
dá
E
Logo
Passo 5
A equação vetorial da reta de interseção é
isto é
Resposta
A reta de interseção entre
e
é