Sejam e pontos do espaço. Verifique que os pontos e são não colineares e escreva as equaçōes paramétricas e geral do plano determinado por estes pontos. Decida se o ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: , e . Primeiro, precisamos verificar se esses pontos são não colineares, ou seja, se eles não estão todos alinhados em uma única linha. Depois, vamos encontrar as equações paramétricas e geral do plano que passa por esses pontos. Por fim, vamos ver se o ponto também está nesse plano. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores, determinação de planos e verificação de pertencimento de pontos a planos.
Passo 2
Para verificar se os pontos , e são não colineares, precisamos ver se os vetores formados por esses pontos não são múltiplos uns dos outros. Vamos calcular os vetores e .
Se esses vetores não forem múltiplos um do outro, então os pontos não são colineares.
Passo 3
Vamos ver se existe um número real tal que .
Comparando as componentes:
Já já vemos que não há um que satisfaça ambas as equações. Portanto, os vetores e não são múltiplos, ou seja, os pontos , e são não colineares.
Passo 4
Agora que sabemos que os pontos são não colineares, podemos determinar o plano [\pi) que passa por eles. Para isso, precisamos de uma equação vetorial ou paramétrica do plano. Vamos usar os vetores e como direções no plano.
A equação paramétrica de um plano pode ser escrita como:
Onde e são vetores diretores.
Passo 5
Vamos escolher o ponto A = (0,1,1) como ponto de referência (x0, y0, z0) . Os vetores diretores são AB = (1,-1,0) e AC = (1,0,-1) .
Então, a equação paramétrica do plano pi fica:
x = 0 + u cdot 1 + v cdot 1 y = 1 + u cdot (-1) + v cdot 0 z = 1 + u cdot 0 + v cdot (-1)
Ou seja:
x = u + v y = 1 - u z = 1 - v
Passo 6
Para achar a equação geral do plano, vamos usar o produto vetorial dos vetores AB e AC para encontrar o vetor normal n do plano.
n = AB times AC = i & j & k 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 = i((-1)(-1) - 0 cdot 0) - j(1 cdot (-1) - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - (-1) cdot 1)
n = i(1) - j(-1) + k(1) = (1, 1, 1)
Passo 7
Com o vetor normal n = (1,1,1) e o ponto A = (0,1,1) , podemos escrever a equação geral do plano pi na forma:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo:
1(x - 0) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0
Simplificando:
x + y - 1 + z - 1 = 0 Rightarrow x + y + z - 2 = 0
Passo 8
Agora, vamos verificar se o ponto P = (1,0,0) está no plano pi . Para isso, substituímos as coordenadas de P na equação geral do plano:
1 + 0 + 0 - 2 = -1 neq 0
Como a equação não se iguala a zero, P não pertence ao plano pi .
Resposta
Os pontos [A), e são não colineares. A equação paramétrica do plano é: