Sejam A=(0,1,1), B=(1,0,1) e C=(1,1,0) pontos do espaço. Verifique que os pontos A, B e C são não colineares e escreva as equaçōes paramétricas e geral do plano pi determinado por estes pontos. Decida se o ponto P=(1,0,0) in pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: A = (0,1,1) , B = (1,0,1) e C = (1,1,0) . Primeiro, precisamos verificar se esses pontos são não colineares, ou seja, se eles não estão todos alinhados em uma única linha. Depois, vamos encontrar as equações paramétricas e geral do plano que passa por esses pontos. Por fim, vamos ver se o ponto P = (1,0,0) também está nesse plano. Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores, determinação de planos e verificação de pertencimento de pontos a planos.

Passo 2

Para verificar se os pontos A , B e C são não colineares, precisamos ver se os vetores formados por esses pontos não são múltiplos uns dos outros. Vamos calcular os vetores AB e AC .
AB = B - A = (1-0, 0-1, 1-1) = (1, -1, 0)
AC = C - A = (1-0, 1-1, 0-1) = (1, 0, -1)
Se esses vetores não forem múltiplos um do outro, então os pontos não são colineares.

Passo 3

Vamos ver se existe um número real lambda tal que AB = lambda AC .
Comparando as componentes:
1 = lambda cdot 1 Rightarrow lambda = 1
-1 = lambda cdot 0 Rightarrow -1 = 0
Já já vemos que não há um lambda que satisfaça ambas as equações. Portanto, os vetores AB e AC não são múltiplos, ou seja, os pontos A , B e C são não colineares.

Passo 4

Agora que sabemos que os pontos são não colineares, podemos determinar o plano [\pi) que passa por eles. Para isso, precisamos de uma equação vetorial ou paramétrica do plano. Vamos usar os vetores e como direções no plano.
A equação paramétrica de um plano pode ser escrita como:
Onde e são vetores diretores.

Passo 5

Vamos escolher o ponto A = (0,1,1) como ponto de referência (x0, y0, z0) . Os vetores diretores são AB = (1,-1,0) e AC = (1,0,-1) .
Então, a equação paramétrica do plano pi fica:
x = 0 + u cdot 1 + v cdot 1 y = 1 + u cdot (-1) + v cdot 0 z = 1 + u cdot 0 + v cdot (-1)
Ou seja:
x = u + v y = 1 - u z = 1 - v

Passo 6

Para achar a equação geral do plano, vamos usar o produto vetorial dos vetores AB e AC para encontrar o vetor normal n do plano.
n = AB times AC = i & j & k 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 = i((-1)(-1) - 0 cdot 0) - j(1 cdot (-1) - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - (-1) cdot 1)
n = i(1) - j(-1) + k(1) = (1, 1, 1)

Passo 7

Com o vetor normal n = (1,1,1) e o ponto A = (0,1,1) , podemos escrever a equação geral do plano pi na forma:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo:
1(x - 0) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0
Simplificando:
x + y - 1 + z - 1 = 0 Rightarrow x + y + z - 2 = 0

Passo 8

Agora, vamos verificar se o ponto P = (1,0,0) está no plano pi . Para isso, substituímos as coordenadas de P na equação geral do plano:
1 + 0 + 0 - 2 = -1 neq 0
Como a equação não se iguala a zero, P não pertence ao plano pi .

Resposta

Os pontos [A), e são não colineares. A equação paramétrica do plano é:
E a equação geral do plano (\pi] é:
O ponto não pertence ao plano .

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