Sejam
e
dois vetores fixados num espaço vetorial
. Mostre que a equação
na incógnita
, tem solução única.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
no espaço vetorial
, onde
e
são vetores fixados. Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial: existência do elemento neutro
, existência do inverso aditivo
e a propriedade de cancelamento da soma.
Passo 2
Pela existência do inverso aditivo de
, existe
tal que
Definimos então o candidato a solução como
Passo 3
Verificamos que esse
de fato resolve a equação:
onde usamos a associatividade da soma e o fato de
.
Passo 4
Para mostrar unicidade, suponha que exista outra solução
com
Como também
, temos
Somando o inverso aditivo
em ambos os lados e usando associatividade, obtemos
Isso prova que não pode haver duas soluções diferentes.
Resposta
A equação
tem solução única