Sejam u e v dois vetores fixados num espaço vetorial V. Mostre que a equação
u+x=v
na incógnita x, tem solução única.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
u + x = v
no espaço vetorial V, onde u e v são vetores fixados. Para isso vamos usar os axiomas de espaço vetorial: existência do elemento neutro 0, existência do inverso aditivo -u e a propriedade de cancelamento da soma.

Passo 2

Pela existência do inverso aditivo de u, existe -u tal que
u + (-u) = 0
Definimos então o candidato a solução como
x0 = v + (-u)

Passo 3

Verificamos que esse x0 de fato resolve a equação:
u + x0 = u + (v + (-u)) = (u + (-u)) + v = 0 + v = v,
onde usamos a associatividade da soma e o fato de u + (-u)=0.

Passo 4

Para mostrar unicidade, suponha que exista outra solução x com
u + x = v
Como também u + x0 = v, temos
u + x = u + x0
Somando o inverso aditivo -u em ambos os lados e usando associatividade, obtemos
x = x0
Isso prova que não pode haver duas soluções diferentes.

Resposta

A equação u + x = v tem solução única
x = v - u

Exercícios relacionados