Consideremos os vetores p1=x^3-1, p2=x^2+x-1 e p3=x+2 no espaço R[x].
Determine q in R[x] tal que 2 p1+p2-3 q=5 q-p1+4 p3.

Passo 1

O enunciado dá os vetores (polinômios)
p1=x^3-1, p2=x^2+x-1, p3=x+2
no espaço vetorial R[x] e pede q tal que
2p1+p2-3q = 5q - p1 + 4p3
Vamos usar operações em espaços vetoriais para isolar q.

Passo 2

Reunindo todos os termos que envolvem q num lado e os que envolvem pi no outro, partindo de
2p1+p2-3q = 5q - p1 + 4p3,
obtemos
8q = 3p1 + p2 - 4p3

Passo 3

Isolando q, fica
q = 3p1 + p2 - 4p38

Passo 4

Substituindo p1=x^3-1, p2=x^2+x-1 e p3=x+2 no numerador:
3p1 + p2 - 4p3 = (3x^3-3) + (x^2+x-1) - 4(x+2)

Passo 5

Agrupando termos semelhantes:
(3x^3-3) + (x^2+x-1) - 4x - 8 = 3x^3 + x^2 - 3x - 12
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q = 3x^3 + x^2 - 3x - 128 = 38x^3 + 18x^2 - 38x - 32

Resposta

q(x) = 38x^3 + 18x^2 - 38x - 32

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