Consideremos a equação diferencial ordinária:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0, x>0
Utilizando agora o método de Frobenius para encontrar a solução.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x^2y''-3x y'+4y=0, x>0,
e pede para aplicar o método de Frobenius, que consiste em buscar soluções da forma
y=sumn=0^inftyanx^n+r

Passo 2

Supondo
y=sumn=0^inftyanx^n+r, y'=sumn=0^infty(n+r)anx^n+r-1, y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r-2,
substituímos na EDO:

Passo 3

x^2y''-3x y'+4y =sumn=0^inftyl[(n+r)(n+r-1)-3(n+r)+4r]anx^n+r=0
Para que essa série seja nula em toda potência de x, cada coeficiente deve ser zero.

Passo 4

O termo de menor potência (índice n=0) gera a equação indicial:
r(r-1)-3r+4=0 ;Longrightarrow; r^2-4r+4=0 ;Longrightarrow; r=2 (raiz dupla)

Passo 5

Para n>=1 o coeficiente geral dá
[(n+2)(n+1)-3(n+2)+4],an =l[n^2r],an=0 ;Longrightarrow; an=0(forall n>=1)
Logo só a0 é livre e a primeira solução fica
y1=a0x^2

Passo 6

Como a raiz r=2 é dupla, a segunda solução de Frobenius envolve um logaritmo:
y2=y1ln x+sumn=1^inftybnx^n+2
Aqui verifica-se que todos bn=0, ficando
y2=x^2ln x

Passo 7

Portanto a solução geral da EDO é
y=C1x^2+C2x^2ln x

Resposta

y=C1x^2+C2x^2ln x

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