Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
y^prime=t+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: y' = t + y . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, a equação y' = t + y pode ser rearranjada para:
y' - y = t
Então, identificamos que P(t) = -1 e Q(t) = t .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante ( mu(t) ) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = -1 :
mu(t) = e^integral -1 , dt = e^-t

Passo 4

Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação diferencial por mu(t) :
e^-t y' - e^-t y = t e^-t
A parte esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(t) y :
ddt (e^-t y) = t e^-t

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt (e^-t y) , dt = integral t e^-t , dt
A integral do lado esquerdo simplifica para:
e^-t y = integral t e^-t , dt
Para resolver a integral do lado direito, usamos a integração por partes. Seja u = t e dv = e^-t dt . Então, du = dt e v = -e^-t .
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du ):
integral t e^-t , dt = -t e^-t + integral e^-t , dt = -t e^-t - e^-t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos a integral resolvida de volta na equação:
e^-t y = -t e^-t - e^-t + C
Agora, multiplicamos ambos os lados por e^t para isolar y :
y = -t - 1 + C e^t

Resposta

A solução geral da equação diferencial y' = t + y é:
y(t) = -t - 1 + C e^t
Onde C é uma constante arbitrária.

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