Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
No nosso caso, a equação
pode ser rearranjada para:
Então, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
A parte esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Para resolver a integral do lado direito, usamos a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos a integral resolvida de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante arbitrária.