Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
t+3 y-t y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação dada é t + 3 y - t y' = 0 . Para resolver, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações lineares: y' + P(t) y = Q(t) .
Começamos rearranjando os termos:
-t y' + 3 y + t = 0
Dividindo todos os termos por -t (assumindo t neq 0 ):
y' - 3t y = -1
Então, a equação fica:
y' + 3t y = 1

Passo 3

Agora, identificamos P(t) = 3t e Q(t) = 1 . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a resolução.
O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral 3t , dt = e^3 ln t = t^3
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos e^ln t^k = t^k .

Passo 4

Multiplicamos todos os termos da equação original pelo fator integrante t^3 :
t^3 y' + 3 t^2 y = t^3
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto t^3 y :
ddt(t^3 y) = t^3

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t :
integral ddt(t^3 y) , dt = integral t^3 , dt
O lado esquerdo simplifica para t^3 y e o lado direito para t^44 + C , onde C é a constante de integração:
t^3 y = t^44 + C

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y dividindo ambos os lados por t^3 :
y = t^44 t^3 + Ct^3 = t4 + Ct^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = t4 + Ct^3
onde C é uma constante arbitrária.

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