Determine as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. A equação dada é
. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante para facilitar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la na forma padrão das equações lineares:
.
Começamos rearranjando os termos:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
):
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicamos em toda a equação para facilitar a resolução.
O fator integrante
é dado por:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos
.
Passo 4
Multiplicamos todos os termos da equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
e o lado direito para
, onde
é a constante de integração:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.