Explique como resolver as integrais abaixo, dependendo dos valores de m e n:
  1. integral sen^m x cos ^n x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin^m x cos^n x , dx . Esse tipo de integral aparece na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente quando trabalhamos com funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e manipulação de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se os expoentes m ou n são ímpares ou pares, porque isso vai determinar a melhor estratégia para resolver a integral. Vamos considerar dois casos principais:
  1. m é ímpar: Quando a potência de seno é ímpar, é útil separar uma potência de seno e usar a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x .
  2. n é ímpar: Quando a potência de cosseno é ímpar, fazemos algo parecido, separando uma potência de cosseno e usando cos^2 x = 1 - sin^2 x .

Passo 3

Caso 1: m é ímpar
Vamos reescrever a integral separando um fator de seno:
integral sin^m x cos^n x , dx = integral sin^m-1 x cdot sin x cos^n x , dx
Agora, usamos a identidade sin^2 x = 1 - cos^2 x para substituir sin^m-1 x :
= integral (1 - cos^2 x)^m-12 cdot sin x cos^n x , dx
Em seguida, fazemos a substituição u = cos x , então du = -sin x , dx . A integral fica:
= -integral (1 - u^2)^m-12 u^n , du
Essa integral pode ser resolvida expandindo (1 - u^2)^m-12 ou usando métodos de integração por partes, dependendo dos valores específicos de m e n .

Passo 4

Caso 2: n é ímpar
Similarmente, se n é ímpar, separamos um fator de cosseno:
integral sin^m x cos^n x , dx = integral sin^m x cdot cos^n-1 x cos x , dx
Usamos a identidade cos^2 x = 1 - sin^2 x :
= integral sin^m x (1 - sin^2 x)^n-12 cos x , dx
Aqui, fazemos a substituição u = sin x , então du = cos x , dx . A integral fica:
= integral u^m (1 - u^2)^n-12 , du
Essa integral também pode ser resolvida expandindo (1 - u^2)^n-12 ou aplicando integração por partes, conforme necessário.

Passo 5

Caso 3: Ambos m e n são pares
Quando tanto m quanto n são pares, podemos usar as identidades de potência dupla para reduzir as potências:
sin^m x = ( 1 - cos 2x2 )^m2, cos^n x = ( 1 + cos 2x2 )^n2
Multiplicando essas expressões e expandindo, a integral resulta em termos de múltiplos de ângulos simples, que são mais fáceis de integrar.

Passo 6

Após resolver a integral em cada caso, sempre devemos substituir de volta a variável u pela função trigonométrica original (se fizemos substituição) e simplificar a expressão final. Dependendo dos valores de m e n , a integral pode ser expressa em termos de funções trigonométricas ou combinada com polinômios de u .

Resposta

Para resolver a integral integral sin^m x cos^n x , dx , identifique se m ou n são ímpares e aplique a técnica de separação de fatores seguida de substituição adequada. Use identidades trigonométricas para reduzir as potências e integrar, substituindo de volta a variável original ao final. Dependendo dos valores específicos de m e n , a integral pode exigir diferentes abordagens, mas seguindo esses passos básicos você conseguirá resolvê-la.

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