Consideremos a equação x^3-2 x-5=0. Sendo f(2)=-1<0 e f(3)=16>0. (Use o Método da Bisseção)
(b) Encontre a raiz com um erro inferior a epsilon=10^-3. (Obs: Refiro-me a |ak-bk|.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o Método da Bisseção na equação
f(x)=x^3-2x-5=0
com intervalo inicial , já que e .
Conteúdo envolvido: Teorema do Valor Intermediário (continuidade de ) e Método da Bisseção.
O que vamos precisar:
- Entender por que existe raiz em .
- Saber como construir sucessivos pontos médios e escolher o subintervalo que mantém sinais opostos.
- Parar quando o tamanho do intervalo for menor que .

Passo 2

Teoria do Método da Bisseção (explicação acessível):
  1. Se mk = ak-1 + bk-12 é contínua em e , existe pelo menos uma raiz em .
  2. A cada iteração definimos o ponto médio
    3. Calculamos .
    - Se , a raiz está em .
    - Caso contrário, está em .
    4. Repetimos até .

Passo 3

Antes de ir iterando ponto a ponto, podemos estimar quantas iterações b0-a02^nlog2!l(b0-a0epsilonr) =log2!l(3-210^-3r) =log2(1000)approx 9,97 precisamos:
Ou seja, iterações já garantem .

Passo 4

Vamos iterar de fato (intervalo inicial m1=tfrac2+32=2,5, f(2,5)=2,5^3-2cdot2,5-5=5,625>0):
k=1:
m2=tfrac2+2,52=2,25, f(2,25)approx1,890>0
Sinais em m3=2,125,;f(2,125)approx0,345>0;Longrightarrow;[2,,2,125] e m4=2,0625,;f(2,0625)approx-0,362<0;Longrightarrow;[2,0625,,2,125] são opostos?
m5=2,09375,;f(2,09375)approx-0,0095<0;Longrightarrow;[2,09375,,2,125] e m6=2,109375,;f(2,109375)approx0,1667>0;Longrightarrow;[2,09375,,2,109375], então nova base é
m7=2,1015625,;f(2,1015625)approx0,0787>0;Longrightarrow;[2,09375,,2,1015625].
k=2:
m8=2,09765625,;f(2,09765625)approx0,0347>0;Longrightarrow;[2,09375,,2,09765625]
Troca o lado positivo: m9=2,095703125,;f(2,095703125)approx0,0129>0;Longrightarrow;[2,09375,,2,095703125].
k=3:
m10=2,0947265625,;f(2,0947265625)approx0,0023>0;Longrightarrow;[2,09375,,2,0947265625]
k=4:
|b10-a10|=2,0947265625-2,09375=0,0009765625<10^-3
k=5:
k=6:
k=7:
k=8:
k=9:
k=10:

Agora

Resposta

Após 10 iterações pelo Método da Bisseção em xapprox m10 = 2,0947265625 , obtemos um intervalo de comprimento menor que . A raiz aproximada é o ponto médio final

Exercícios relacionados