Consideremos a equação
. Sendo
e
. (Use o Método da Bisseção)
(a) Mostre que existe uma única solução no intervalo
.
(a) Mostre que existe uma única solução no intervalo
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a equação
e que
e
. O objetivo é, usando ideia do Método da Bisseção (mas aqui só pro teorema), mostrar que existe exatamente uma solução em
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano) pra garantir existência de raiz.
- Noção de continuidade de polinômios.
- Uso da derivada pra mostrar monotonicidade e garantir unicidade da raiz.
Passo 2
Primeiro, pra existência de pelo menos uma raiz, usamos o Teorema do Valor Intermediário:
- Polinômio é função contínua em todo
. - Se uma função contínua
muda de sinal em e (isto é, ), então existe tal que .
Aqui temose , logo
Portanto, existe pelo menos uma raiz
em
.
Passo 3
Agora, pra garantir que essa raiz seja única, mostramos que
é estritamente crescente em
.
- Calculemos a derivada:
- Em todo
, temos , então
Derivada positiva significa função estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o zero uma vez.
Resposta
Logo, existe exatamente uma solução da equação
no intervalo
.