Consideremos a equação x^3-2 x-5=0. Sendo f(2)=-1<0 e f(3)=16>0. (Use o Método da Bisseção)
(a) Mostre que existe uma única solução no intervalo [2,3].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a equação
f(x)=x^3-2x-5=0
e que e . O objetivo é, usando ideia do Método da Bisseção (mas aqui só pro teorema), mostrar que existe exatamente uma solução em .
Conteúdo envolvido:
  • Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano) pra garantir existência de raiz.
  • Noção de continuidade de polinômios.
  • Uso da derivada pra mostrar monotonicidade e garantir unicidade da raiz.

Passo 2

Primeiro, pra existência de pelo menos uma raiz, usamos o Teorema do Valor Intermediário:
  1. Polinômio é função contínua em todo f(2)cdot f(3) = (-1)times 16 < 0 .
  2. Se uma função contínua muda de sinal em e (isto é, ), então existe tal que .
    Aqui temos e , logo
Portanto, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora, pra garantir que essa raiz seja única, mostramos que f'(x)=ddx(x^3-2x-5)=3x^2-2 é estritamente crescente em f'(x)=3x^2-2>= 3cdot4 -2 =12-2=10>0 .
  1. Calculemos a derivada:
  1. Em todo , temos , então
Derivada positiva significa função estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode cruzar o zero uma vez.

Resposta

Logo, existe exatamente uma solução da equação no intervalo .

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