Determinar todas as raízes do polinômio:
, com precisão de
, usando o Método de Newton e o algoritmo/método da questão anterior.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar todas as raízes do polinômio
com precisão de
Conteúdo envolvido:
- Noções de polinômio e sinal de função (pra encontrar intervalos)
- Derivada
- Método de Newton:
O que precisamos: achar intervalos pelo teste de sinal, calcular
Passo 2
Primeiro, a gente faz o “algoritmo anterior” (teste de mudança de sinal) para localizar onde
muda de positivo pra negativo (ou vice-versa).
Calculemos alguns valores:
Calculemos alguns valores:
-
(negativo) -
(positivo) ⇒ raiz entre e . -
(positivo) -
(negativo) ⇒ raiz entre e . -
(negativo) -
(positivo) ⇒ raiz entre e .
Logo temos três intervalos iniciais:
Passo 3
Escrevemos a derivada e a fórmula de Newton:
Agora escolhemos como chute inicial o ponto médio de cada intervalo:
-
-
-
e iteramos até a diferença.
Passo 4
Chute
.
Iterações:
Iterações:
-
. -
. -
.
Diferença, então paramos.
Raiz ≈.
Passo 5
Chute
.
-
. -
.
Diferença.
Raiz ≈.
Passo 6
Chute
.
-
. -
. -
.
Diferença.
Raiz ≈.
Resposta
As três raízes de
com precisão de
são, aproximadamente: