Determinar todas as raízes do polinômio: P(x)=x^3-5 x^2+1,75 x+6=0, com precisão de 10^-2, usando o Método de Newton e o algoritmo/método da questão anterior.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar todas as raízes do polinômio
P(x)=x^3-5x^2+1,75x+6=0
com precisão de xn+1 ;=; xn ;-;P(xn)P'(xn) , usando o Método de Newton e também o “algoritmo da questão anterior” (que aqui a gente vai entender como o método de mudança de sinal pra achar intervalos onde há raízes).
Conteúdo envolvido:
- Noções de polinômio e sinal de função (pra encontrar intervalos)
- Derivada
- Método de Newton:

O que precisamos: achar intervalos pelo teste de sinal, calcular , escolher chutes iniciais nesses intervalos e iterar até .

Passo 2

Primeiro, a gente faz o “algoritmo anterior” (teste de mudança de sinal) para localizar onde muda de positivo pra negativo (ou vice-versa).
Calculemos alguns valores:
  • (negativo)
  • (positivo) ⇒ raiz entre e .
  • (positivo)
  • (negativo) ⇒ raiz entre e .
  • (negativo)
  • (positivo) ⇒ raiz entre e .
Logo temos três intervalos iniciais:

Passo 3

Escrevemos a derivada e a fórmula de Newton:
P'(x)=3x^2-10x+1,75, xn+1=xn-P(xn)P'(xn)
Agora escolhemos como chute inicial o ponto médio de cada intervalo:

  1. e iteramos até a diferença .

Passo 4

Chute .
Iterações:

  1. .

  2. .

  3. .
    Diferença , então paramos.
    Raiz ≈ .

Passo 5

Chute .

  1. .

  2. .
    Diferença .
    Raiz ≈ .

Passo 6

Chute .

  1. .

  2. .

  3. .
    Diferença .
    Raiz ≈ .

Resposta

As três raízes de xapprox -0,87, xapprox1,61, xapprox4,26 com precisão de são, aproximadamente:

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