Consideremos no espaço P2=a t^2+b t+c / a, b, c in IR os vetores p1=t^2-2 t+ 1, p2=t+2 е p3=2 t^2-t.
Determinar uma condição para a, b e c de modo que o vetor a t^2+b t+c seja combinação linear de p2 e p3.

Passo 1

O enunciado pede que a forma geral do polinômio
a t^2 + b t + c
seja combinação linear dos vetores
p2 = t + 2 e p3 = 2t^2 - t
Isso significa encontrar uma condição sobre a, b e c para que existam escalares alpha e beta tais que
a t^2 + b t + c = alpha,p2 + beta,p3

Passo 2

Escrevendo a combinação linear, temos
a t^2 + b t + c = alpha,(t+2) + beta,(2t^2 - t)
Expandindo o lado direito, fica
alpha,t + 2alpha + 2beta,t^2 - beta,t = 2beta,t^2 + (alpha - beta),t + 2alpha

Passo 3

Agora comparamos coeficientes de t^2, de t e do termo constante em ambos os lados:
a = 2beta, b = alpha - beta, c = 2alpha

Passo 4

Da primeira equação segue beta = tfraca2, e da terceira alpha = tfracc2. Substituindo em
b = alpha - beta
vem
b = c2 - a2 Longrightarrow 2b = c - a Longrightarrow a + 2b - c = 0

Resposta

A condição necessária e suficiente em a, b e c é
boxeda + 2b - c = 0

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