Nos problemas 14 a 25 são apresentados subconjuntos de R^3. Verificar quais são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
S=(x, y, z) / x=4 y e z=0

Passo 1

O enunciado apresenta o subconjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid x = 4y e z=0
e pede para verificar se S é subespaço de R^3 sob as operações usuais. Para isso, precisamos mostrar que
  1. o vetor zero está em S,
  2. S é fechado sob adição,
  3. S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verifiquemos primeiro se o vetor zero (0,0,0) pertence a S.
Como em (0,0,0) temos x=0, y=0 e z=0,
x = 0 = 4cdot 0 = 4y e z = 0
Logo, (0,0,0)in S.

Passo 3

Vamos checar a clausura sob adição. Seja
u=(x1,y1,z1)in S, v=(x2,y2,z2)in S,
ou seja
x1 = 4y1,; z1=0, x2 = 4y2,; z2=0
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Como
x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4(y1+y2), z1+z2 = 0+0 = 0,
segue que u+v satisfaz as mesmas equações e, portanto, u+vin S.

Passo 4

Agora a clausura sob multiplicação escalar. Tome lambdainR e
u=(x1,y1,z1)in S,
isto é x1 = 4y1 e z1=0. Então
lambda u = (lambda x1,;lambda y1,;lambda z1)
Temos
lambda x1 = lambda,(4y1) = 4,(lambda y1), lambda z1 = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda u também satisfaz x=4y e z=0, ou seja lambda uin S.

Resposta

S é subespaço de R^3.

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