Nos problemas 14 a 25 são apresentados subconjuntos de
. Verificar quais são seus subespaços em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
e
Passo 1
O enunciado apresenta o subconjunto
e pede para verificar se
é subespaço de
sob as operações usuais. Para isso, precisamos mostrar que
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob adição, -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verifiquemos primeiro se o vetor zero
pertence a
.
Como em temos
,
e
,
Como em
Logo,
.
Passo 3
Vamos checar a clausura sob adição. Seja
ou seja
Então
Como
segue que
satisfaz as mesmas equações e, portanto,
.
Passo 4
Agora a clausura sob multiplicação escalar. Tome
e
isto é
e
. Então
Temos
logo
também satisfaz
e
, ou seja
.