Consideremos no espaço P2=a t^2+b t+c mid a, b, c in R os vetores p1=t^2-2 t+1, p2=t+2 e p3=2 t^2-t. Então o subespaço de P2 gerado por p2 e p3, é:
S=a t^2+b t+c in P2 mid a-b+c=0

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subespaço
S=spanp2,p3
onde
p2(t)=t+2, p3(t)=2t^2-t
no espaço P2 dos polinômios de grau <=2.
Vamos escrever um elemento genérico de S como combinação linear de p2 e p3 e então obter uma condição linear entre os coeficientes a,b,c de um polinômio
q(t)=a,t^2+b,t+c.

Passo 2

Escrevemos um polinômio genérico de S como
q(t)=alpha,p2(t)+beta,p3(t) =alpha,(t+2)+beta,(2t^2-t)
Expandindo, obtemos
q(t)=2beta,t^2+(alpha-beta),t+2alpha

Passo 3

Identificamos os coeficientes de q(t)=a,t^2+b,t+c com a forma acima:
a=2beta, b=alpha-beta, c=2alpha

Passo 4

Eliminamos alpha,beta para achar a relação entre a,b,c.
De a=2beta segue beta=tfraca2.
De c=2alpha segue alpha=tfracc2.
Substituindo em b=alpha-beta
b=c2-a2 ;Longrightarrow; 2b=c-a ;Longrightarrow; a+2b-c=0

Resposta

S=l,a,t^2+b,t+cin P2mid a+2b-c=0r

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