Consideremos no espaço P2=a t^2+b t+c mid a, b, c in R os vetores p1=t^2-2 t+1, p2=t+2 e p3=2 t^2-t. Então o subespaço de P2 gerado por p2 e p3, é:
S=a t^2+b t+c in P2 mid a-b=0

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de P2 gerado pelos vetores
p2=t+2, p3=2t^2-t
Em outras palavras, queremos
S=spanp2,p3
e expressá-lo como um conjunto de polinômios a t^2+b t+c sujeitos a alguma relação entre a, b e c.

Passo 2

Vamos escrever um elemento genérico de S como combinação linear
alpha,p2+beta,p3 =alpha,(t+2)+beta,(2t^2-t)
Desenvolvendo essa soma, obtemos
alpha,p2+beta,p3 =2beta,t^2+(alpha-beta),t+2alpha

Passo 3

Comparemos com um polinômio genérico
a,t^2+b,t+c
Pela comparação de coeficientes temos
a=2beta, b=alpha-beta, c=2alpha

Passo 4

Da primeira relação segue beta=tfraca2. Substituindo em b=alpha-beta obtém-se
alpha=b+beta=b+tfraca2
Então
c=2alpha=2l(b+tfraca2r)=a+2b
Portanto todo polinômio em S satisfaz a relação
c = a + 2,b

Resposta

S=la,t^2+b,t+cin P2mid c = a + 2br

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