Seja e .
determinar o subespaço gerado pelo conjunto , ou seja, se , encontre as condições sobre e .
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial e o conjunto com
e pede o subespaço gerado por , isto é, todas as combinações lineares de e . Vamos achar que condição os componentes precisam satisfazer para pertencer a esse subespaço.
Passo 2
Definimos
Passo 3
Se , existem tais que
Isso gera o sistema de equações para as coordenadas:
Passo 4
Da terceira equação temos
-alpha+beta = z Longrightarrow alpha=beta - z
Substituindo na segunda:
-2(beta - z)+beta = y Longrightarrow -2beta+2z+beta = y Longrightarrow -beta +2z = y Longrightarrow beta = 2z - y
Logo
alpha = (,2z - y,) - z = z - y
Passo 5
Agora usamos esses valores em alpha+2beta = x:
x = (z - y) + 2(2z - y) = z - y +4z -2y =5z -3y
Reescrevendo, obtemos a condição linear
x + 3y - 5z = 0
Isto mostra que G(A) é exatamente o plano que passa pela origem e satisfaz essa equação.