Seja V=R^3, A=v1, v2, v1=(1,-2,-1) e v2=(2,1,1).
determinar o subespaço gerado pelo conjunto A, ou seja, se v =(x, y, z) in G(A), encontre as condições sobre x, y e z.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^3 e o conjunto A=v1,v2 com
v1=(1,-2,-1), v2=(2,1,1)
e pede o subespaço gerado por A, isto é, todas as combinações lineares de v1 e v2. Vamos achar que condição os componentes (x,y,z) precisam satisfazer para pertencer a esse subespaço.

Passo 2

Definimos
G(A)=Span,v1,v2 =alpha,v1+beta,v2mid alpha,betainR

Passo 3

Se v=(x,y,z)in G(A), existem alpha,beta tais que
alpha(1,-2,-1)+beta(2,1,1)=(x,y,z)
Isso gera o sistema de equações para as coordenadas:
alpha+2beta = x, -2alpha+beta = y, -alpha+beta = z

Passo 4

Da terceira equação temos
-alpha+beta = z Longrightarrow alpha=beta - z
Substituindo na segunda:
-2(beta - z)+beta = y Longrightarrow -2beta+2z+beta = y Longrightarrow -beta +2z = y Longrightarrow beta = 2z - y
Logo
alpha = (,2z - y,) - z = z - y

Passo 5

Agora usamos esses valores em alpha+2beta = x:
x = (z - y) + 2(2z - y) = z - y +4z -2y =5z -3y
Reescrevendo, obtemos a condição linear
x + 3y - 5z = 0
Isto mostra que G(A) é exatamente o plano que passa pela origem e satisfaz essa equação.

Resposta

G(A)=(x,y,z)inR^3 mid x + 3y - 5z = 0

Exercícios relacionados