Sejam os conjuntos A=(3,4),(5,7) e B=(1,1),(-1,1).
encontre [x]B a partir de [x]A=(-1,3)

Passo 1

O enunciado define duas bases de R^2:
A=(3,4),(5,7) e B=(1,1),(-1,1).
Está dado o vetor x em coordenadas da base A, ou seja [x]A=(-1,3), e queremos encontrar [x]B. Para isso, primeiro vamos obter x em coordenadas canônicas e depois expressá-lo como combinação linear dos vetores da base B.

Passo 2

Em coordenadas canônicas,
x = -1cdot(3,4) + 3cdot(5,7) = (-3,-4)+(15,21) = (12,17)

Passo 3

Procuramos escalares alpha e beta tais que
x = alpha,(1,1) + beta,(-1,1)
Igualando componentes, obtemos o sistema
alpha - beta = 12, alpha + beta = 17

Passo 4

Somando as duas equações do sistema, vem
2alpha = 29 Longrightarrow alpha = tfrac292
Substituindo em alpha - beta = 12, tem
tfrac292 - beta = 12 Longrightarrow beta = tfrac292 - tfrac242 = tfrac52

Resposta

[x]B =l(tfrac292,,tfrac52r)

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